Determine se o sistema tem (a) uma única solução; (b) nenhuma solução; (c) infinitas soluções.
x+2y+z=3
2x-y-3z=5
4x+3y-z=k

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z e parâmetro k:
x+2y+z=3, 2x-y-3z=5, 4x+3y-z=k
O conteúdo aqui é análise de sistemas lineares: primeiro verificamos a invertibilidade da matriz de coeficientes (determinante) para saber se há solução única; se não for invertível, investigamos consistência para ver se há nenhuma ou infinitas soluções.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & 1 2 & -1 & -3 4 & 3 & -1
e calculamos
det(A) =1det-1&-33&-1 -2det2&-34&-1 +1det2&-14&3
Agora cada menor:
det-1&-33&-1 =(-1)(-1)-(-3)cdot3=1+9=10,
det2&-34&-1 =2(-1)-(-3)cdot4=-2+12=10,
det2&-14&3 =2cdot3-(-1)cdot4=6+4=10
Logo
det(A)=1cdot10-2cdot10+1cdot10=10-20+10=0

Passo 3

Como det(A)=0, não há solução única. Passamos a resolver as duas primeiras equações para obter uma família de soluções e depois checar a terceira. Da primeira,
x=3-2y-z
Substituindo na segunda:
2(3-2y-z)-y-3z=5 ;Longrightarrow; 6-4y-2z-y-3z=5 ;Longrightarrow; -5y-5z=-1 ;Longrightarrow; y+z=tfrac15
Defina o parâmetro t=z. Então
y=tfrac15-t, x=3-2l(tfrac15-tr)-t =3-tfrac25+2t-t =tfrac135+t

Passo 4

Substituímos l(x,y,zr)=l(tfrac135+t,;tfrac15-t,;tr) na terceira equação:
4x+3y-z =4l(tfrac135+tr) +3l(tfrac15-tr) -t =tfrac525+4t+tfrac35-3t-t =11
Para ser consistente é necessário
11=k
Se kneq11, a última equação não é satisfeita por nenhuma escolha de t.

Passo 5

Portanto:
  • Como det(A)=0, nunca há solução única.
  • Se kneq11, o sistema fica inconsistente e não tem solução.
  • Se k=11, a consistência é garantida e há infinitas soluções (o parâmetro t livre).

Resposta

(a) Não existe k que gere solução única.
(b) Nenhuma solução se kneq11.
(c) Infinitas soluções se k=11.

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