Se a operação elementar de linha c Rp+Rq transforma a matriz A na matriz B, mostre que -c Rp+Rq transforma B em A.

Passo 1

O enunciado diz que partimos de uma matriz A e aplicamos a operação elementar de linha “adicionar c vezes a linha p à linha q”, chamando o resultado de matriz B. O conteúdo aqui é reconhecer que cada operação elementar de linha é invertível e encontrar explicitamente sua inversa.

Passo 2

Escrevamos como fica cada linha de B. Para ineq q, a linha i de B é igual à linha i de A. Para a linha q temos
Bq ;=; Aq + c,Ap
Em notação de vetores linha:
Bi = Ai(forall,ineq q), Bq=Aq+c,Ap

Passo 3

Agora aplicamos em B a operação elementar “adicionar -c vezes a linha p à linha q”. Ou seja, definimos uma nova matriz C tal que para ineq q,
Ci=Bi=Ai,
e para i=q,
Cq=Bq+(-c),Bp=(Aq+c,Ap)-c,Ap=Aq
Logo todas as linhas de C coincidem com as de A, ou seja, C=A.

Resposta

Aplicar -c,Rp+Rq em B recupera exatamente a matriz A.

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