A condutividade de um cilindro de comprimento
e área de seção transversal
cresce linearmente com a distância, tendo o valor
numa extremidade e
na outra. Calcule a resistência total do cilindro.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cilindro com comprimento $ L $ e área de seção transversal $ S $. A condutividade elétrica $ \sigma $ desse cilindro aumenta de forma linear ao longo do comprimento: começa com $ \sigma_0 $ em uma extremidade e chega a $ \sigma $ na outra. Nosso objetivo é calcular a resistência total desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de resistência elétrica e integração, já que a condutividade varia ao longo do comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar como a condutividade $ \sigma $ varia com a distância $ x $ ao longo do cilindro. Como o aumento é linear, podemos escrever:
Aqui, $ x $ varia de 0 a $ L $.
Passo 3
A resistência elétrica $ R $ de um material é dada por:
onde $ \rho $ é a resistividade, que é o inverso da condutividade ($ \rho = \frac{1}{\sigma} $).
No nosso caso, a resistividade varia com $ x $, então precisamos considerar infinitesimais segmentos do cilindro e integrar ao longo de todo o comprimento.
Passo 4
Vamos considerar um pequeno segmento de comprimento $ dx $ no ponto $ x $. A resistência desse segmento $ dR $ é:
Substituindo $ \sigma(x) $ da equação do Passo 2:
Passo 5
Para encontrar a resistência total $ R $, integramos $ dR $ de $ x = 0 $ a $ x = L $:
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Primeiro, fatoramos a parte linear no denominador:
onde:
Então, a integral fica:
Passo 7
A integral de $ \frac{1}{a x + b} $ em relação a $ x $ é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Substituindo $ a = \frac{\sigma - \sigma_0}{L} $ e $ b = \sigma_0 $:
Resposta
A resistência total do cilindro é: