A condutividade de um cilindro de comprimento L e área de seção transversal S cresce linearmente com a distância, tendo o valor sigma0 numa extremidade e sigma na outra. Calcule a resistência total do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um cilindro com comprimento $ L $ e área de seção transversal $ S $. A condutividade elétrica $ \sigma $ desse cilindro aumenta de forma linear ao longo do comprimento: começa com $ \sigma_0 $ em uma extremidade e chega a $ \sigma $ na outra. Nosso objetivo é calcular a resistência total desse cilindro. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de resistência elétrica e integração, já que a condutividade varia ao longo do comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar como a condutividade $ \sigma $ varia com a distância $ x $ ao longo do cilindro. Como o aumento é linear, podemos escrever:
sigma
Aqui, $ x $ varia de 0 a $ L $.

Passo 3

A resistência elétrica $ R $ de um material é dada por:
R
onde $ \rho $ é a resistividade, que é o inverso da condutividade ($ \rho = \frac{1}{\sigma} $).
No nosso caso, a resistividade varia com $ x $, então precisamos considerar infinitesimais segmentos do cilindro e integrar ao longo de todo o comprimento.

Passo 4

Vamos considerar um pequeno segmento de comprimento $ dx $ no ponto $ x $. A resistência desse segmento $ dR $ é:
dx
Substituindo $ \sigma(x) $ da equação do Passo 2:
x

Passo 5

Para encontrar a resistência total $ R $, integramos $ dR $ de $ x = 0 $ a $ x = L $:
R

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Primeiro, fatoramos a parte linear no denominador:
sigma(x) = sigma0 + ( sigma - sigma0L ) x = a x + b
onde:
a = sigma - sigma0L e b = sigma0
Então, a integral fica:
R = 1S integral0^L 1a x + b dx

Passo 7

A integral de $ \frac{1}{a x + b} $ em relação a $ x $ é:
1a x + b
Aplicando os limites de integração:
x

Passo 8

Substituindo $ a = \frac{\sigma - \sigma_0}{L} $ e $ b = \sigma_0 $:
a = sigma - sigma0L

Resposta

A resistência total do cilindro é:
R = L(sigma - sigma0) S ln( sigmasigma0 )

Exercícios relacionados