A condutividade térmica k de um metal líquido é prevista via a equação empírica
k=\mathrm{A} \exp (\mathrm{~B} / T)
em que k está em \mathrm{J} /(\mathrm{s})(\mathrm{m})(\mathrm{K})
T está em Kelvin
e A e B são constantes
Quais são as unidades de A e de B ?

Passo 1

O enunciado dá a relação empírica
k = A \exp\!\left(\frac{B}{T}\right),
com as informações:
  • k tem unidades \mathrm{J/(s\; m\; K)}.
  • T está em Kelvin.
  • A e B são constantes, e o exercício pede: quais são as unidades de A e de B ?

Passo 2

Regra fundamental usada: a função exponencial só aceita um argumento adimensional (sem unidades). Isso significa que, na expressão \exp\!\left(\dfrac{B}{T}\right), o quociente \dfrac{B}{T} deve ser um número puro, sem unidades.

Passo 3

Da exigência do passo anterior segue que as unidades de B devem ser as mesmas unidades de T, para que o quociente seja adimensional. Como T está em Kelvin, concluímos que B tem unidades de Kelvin. Em TeX:
\text{unidades de }B = \mathrm{K}.

Passo 4

Agora olhamos para a equação inteira: \,k = A \cdot \exp(\cdots)\,. Como \exp(\cdots) é adimensional, ele não altera unidades. Portanto as unidades de A têm que ser as mesmas unidades de k, para que o produto tenha as unidades corretas. Assim:
\text{unidades de }A = \text{unidades de }k = \mathrm{J/(s\; m\; K)}.

Passo 5

Como informação extra, podemos escrever as unidades de A em forma equivalente usando o Watt ( \mathrm{W}=\mathrm{J/s}):
\text{unidades de }A = \mathrm{W\; m^{-1}\; K^{-1}}.
Também, se quiser em unidades base do SI:
\mathrm{J/(s\; m\; K)} = \mathrm{kg\; m\; s^{-3}\; K^{-1}}.

Resposta

A:\\ \mathrm{J/(s\; m\; K)} (equivalente a \mathrm{W\; m^{-1}\; K^{-1}})
B:\\ \mathrm{K}

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