Um condutor cilíndrico longo de raio R, conduz uma corrente i. A corrente está uniformemente distribuída na área da seção reta do cilindro. Calcule o campo magnético em função da distância r entre o ponto do campo e o eixo do cilindro para os pontos onde: (a) r<R e(b) r>R.

Passo 1

O lance aqui é achar o campo magnético gerado por um fio cilíndrico longo de raio R que carrega uma corrente i uniformemente distribuída na seção. O conteúdo que vamos usar é a Lei de Ampère, que diz que
oint Bcdot dl = mu0 , ienc,
onde ienc é a corrente que passa dentro do caminho de integração. Também vamos precisar do conceito de densidade de corrente uniforme J = i/(pi R^2) e da simetria cilíndrica do problema.

Passo 2

Caso r < R (ponto dentro do cilindro):
  1. Como a corrente está distribuída de modo uniforme, a densidade de corrente é
J = ipi R^2
  1. A corrente efetivamente “encapsulada” por um círculo de raio r é
ienc = J times área do círculo de raio r = ipi R^2 times (pi r^2) = i,r^2R^2 áí
  1. Pela Lei de Ampère, num percurso circular de raio r o campo é tangencial e constante em módulo:
oint Bcdot dl = B(r),(2pi r) = mu0,ienc = mu0,i,r^2R^2
  1. Logo, isolando B(r):
B(r) = mu0,i2pi,r^2R^2,1r = mu0,i2pi,rR^2

Passo 3

Caso r > R (ponto fora do cilindro):
  1. Todo mundo da corrente i está “dentro” do círculo de raio r, então
ienc = i
  1. Aplicando Ampère num caminho circular de raio r:
oint Bcdot dl = B(r),(2pi r) = mu0,i
  1. Isolando B(r):
B(r) = mu0,i2pi r

Resposta

O campo magnético é dado por
B(r) = dfracmu0,i2pi,dfracrR^2, & r < R,[6pt] dfracmu0,i2pi,r, & r > R
]

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