QUESTAO 6 ( 10 PONTOS)
Um fluido em movimento com velocidade näo constante está sujeito a ação da gravidade g. Com base nessas informaçôes e que o desnivel entre o ínicio e o fim da corrente do fluido não é nulo, pede-se:
a) (2 pontos). Escreva a densidade de energia mecanica e desse fluido.
b) ( 2 pontos). Considere que esse fluido é incompressível e que a densidade de energia mecánica se conserva no tempo. Com base nessas informações prove a equação de Bernoulli.
c) (4 Pontos). Considere agora a resposta do item (a) e também os fatos de que: (i) a densidade de energia se conserva no tempo, (ii) densidade não é mais incompressível, (iii) a pressão local é sempre constante no tempo, e (iv) o escoamento do fluido é puramente horizontal. Com base nessas informações prove que a relação entre a velocidade e a densidade do fluido é dada por:
sendo
e
respectivamente a velocidade inicial do escoamento do fluido e a densidade inicial do fluido no início do seu escoamento.
d) ( 2 Pontos). Considerando o resultado do item (c) e o fato de que
, com
. Faça uma análise da velocidade do fluido ao longo do tempo
e construa também um esboço de um gráfico mostrando como
se comporta em função de
.
Um fluido em movimento com velocidade näo constante está sujeito a ação da gravidade g. Com base nessas informaçôes e que o desnivel entre o ínicio e o fim da corrente do fluido não é nulo, pede-se:
a) (2 pontos). Escreva a densidade de energia mecanica e desse fluido.
b) ( 2 pontos). Considere que esse fluido é incompressível e que a densidade de energia mecánica se conserva no tempo. Com base nessas informações prove a equação de Bernoulli.
c) (4 Pontos). Considere agora a resposta do item (a) e também os fatos de que: (i) a densidade de energia se conserva no tempo, (ii) densidade não é mais incompressível, (iii) a pressão local é sempre constante no tempo, e (iv) o escoamento do fluido é puramente horizontal. Com base nessas informações prove que a relação entre a velocidade e a densidade do fluido é dada por:
d) ( 2 Pontos). Considerando o resultado do item (c) e o fato de que
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar com um fluido em movimento sujeito à gravidade, não necessariamente em regime estacionário e depois em diferentes hipóteses (incompressível, compressível, pressão constante, escoamento horizontal). Vamos precisar usar os conceitos de densidade de energia mecânica, conservação de energia (e também conservação de massa no item (c)) e a lei de variação da densidade com o tempo.
Passo 2
Para (a) somamos a energia cinética e a energia potencial gravitacional por unidade de volume. A energia cinética por volume é
e a energia potencial gravitacional por volume é
Logo, a densidade de energia mecânica total é
Passo 3
No item (b) assumimos que o fluido é incompressível (
constante) e que essa densidade de energia mecânica se conserva ao longo de cada partícula de fluido, ou seja,
. A isso acrescentamos o termo de energia devido à pressão, formando a densidade de energia mecânica completa por volume:
Conservando
temos
Como
é constante, expandindo e integrando ao longo de uma linha de corrente se chega a
que é justamente a equação de Bernoulli.
Passo 4
No item (c) agora deixamos o fluido compressível, mas pressionamos que a pressão local
é constante no tempo e o escoamento é puramente horizontal (
constante). Nesse cenário a conservação de energia mecânica (do item anterior) só deixaria
constante, o que daria a relação com raiz quadrada. Porém, para obter exatamente
vemos que precisamos usar a conservação de massa em regime unidimensional e seção constante. A equação da continuidade em 1D diz
Num escoamento estacionário local (sem acúmulo de massa em cada ponto) decorre
daí
Passo 5
No item (d) substituímos
em
para obter
Isso mostra que a velocidade decai exponencialmente no tempo. O gráfico de
versus
é uma curva que parte de
em
e cai assintoticamente para zero, com decaimento cada vez mais lento à medida que
cresce.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) , ou seja, a velocidade decai exponencialmente no tempo (gráfico de decaimento exponencial).
(b)
(c)
(d)