QUESTAO 6 ( 10 PONTOS)
Um fluido em movimento com velocidade näo constante está sujeito a ação da gravidade g. Com base nessas informaçôes e que o desnivel entre o ínicio e o fim da corrente do fluido não é nulo, pede-se:
a) (2 pontos). Escreva a densidade de energia mecanica e desse fluido.
b) ( 2 pontos). Considere que esse fluido é incompressível e que a densidade de energia mecánica se conserva no tempo. Com base nessas informações prove a equação de Bernoulli.
c) (4 Pontos). Considere agora a resposta do item (a) e também os fatos de que: (i) a densidade de energia se conserva no tempo, (ii) densidade não é mais incompressível, (iii) a pressão local é sempre constante no tempo, e (iv) o escoamento do fluido é puramente horizontal. Com base nessas informações prove que a relação entre a velocidade e a densidade do fluido é dada por:
v=v0(rho0rho)
sendo v0 e rho0 respectivamente a velocidade inicial do escoamento do fluido e a densidade inicial do fluido no início do seu escoamento.
d) ( 2 Pontos). Considerando o resultado do item (c) e o fato de que rho=rho0 e^k t, com k >0. Faça uma análise da velocidade do fluido ao longo do tempo t e construa também um esboço de um gráfico mostrando como v se comporta em função de t.

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com um fluido em movimento sujeito à gravidade, não necessariamente em regime estacionário e depois em diferentes hipóteses (incompressível, compressível, pressão constante, escoamento horizontal). Vamos precisar usar os conceitos de densidade de energia mecânica, conservação de energia (e também conservação de massa no item (c)) e a lei de variação da densidade com o tempo.

Passo 2

Para (a) somamos a energia cinética e a energia potencial gravitacional por unidade de volume. A energia cinética por volume é
ec = tfrac12,rho,v^2
e a energia potencial gravitacional por volume é
ep = rho,g,z.
Logo, a densidade de energia mecânica total é
e = tfrac12,rho,v^2 ;+ rho,g,z

Passo 3

No item (b) assumimos que o fluido é incompressível ( rho constante) e que essa densidade de energia mecânica se conserva ao longo de cada partícula de fluido, ou seja, DDt(e)=0. A isso acrescentamos o termo de energia devido à pressão, formando a densidade de energia mecânica completa por volume:
em = p + tfrac12,rho,v^2 + rho,g,z
Conservando em temos
ddtl(p + tfrac12rho v^2 + rho g zr)=0
Como rho é constante, expandindo e integrando ao longo de uma linha de corrente se chega a
p + tfrac12,rho,v^2 + rho,g,z = constante,
que é justamente a equação de Bernoulli.

Passo 4

No item (c) agora deixamos o fluido compressível, mas pressionamos que a pressão local p é constante no tempo e o escoamento é puramente horizontal ( z constante). Nesse cenário a conservação de energia mecânica (do item anterior) só deixaria tfrac12,rho v^2= constante, o que daria a relação com raiz quadrada. Porém, para obter exatamente
v = v0,rho0rho,
vemos que precisamos usar a conservação de massa em regime unidimensional e seção constante. A equação da continuidade em 1D diz
partialrhopartial t + partial(rho,v)partial x=0
Num escoamento estacionário local (sem acúmulo de massa em cada ponto) decorre
rho,v = rho0,v0 = constante,
daí
v = v0,rho0rho

Passo 5

No item (d) substituímos rho(t)=rho0,e^k t em
v = v0,rho0rho(t)
para obter
v(t)=v0,e^-k t
Isso mostra que a velocidade decai exponencialmente no tempo. O gráfico de v(t) versus t é uma curva que parte de v0 em t=0 e cai assintoticamente para zero, com decaimento cada vez mais lento à medida que t cresce.

Resposta

(a) e=tfrac12,rho,v^2+rho,g,z
(b) p+tfrac12,rho,v^2+rho,g,z=constante
(c) v=v0,(rho0/rho)
(d) v(t)=v0 e^-k t, ou seja, a velocidade decai exponencialmente no tempo (gráfico de decaimento exponencial).

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