Questão 1 Uma superfície cônica carregada tem raio
, altura
e o vértice para baixo. As coordenadas cilíndricas são coaxiais ao cone e têm origem no seu vértice. Nesse sistema, a densidade superficial de carga é
. Determine:
(a) a equação cilíndrica da superfície cônica;
(b) o elemento de carga, em função da coordenada
;
(c) a carga total da distribuição.
(a) a equação cilíndrica da superfície cônica;
(b) o elemento de carga, em função da coordenada
(c) a carga total da distribuição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre uma superfície cônica carregada. A gente vai precisar usar coordenadas cilíndricas e entender um pouco sobre densidade superficial de carga. Vamos lá, vou te explicar passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrar a equação cilíndrica da superfície cônica.
Primeiro, vamos entender a geometria do cone. Temos que o cone tem altura
e raio da base
. Como estamos usando coordenadas cilíndricas
e o vértice está na origem, a equação do cone relaciona
e
.
A inclinação do cone pode ser descrita pela relação entre o raio da base e a altura:
Então, a equação cilíndrica do cone é:
Passo 3
Parte (b): Determinar o elemento de carga em função da coordenada
.
Vamos calcular um pequeno elemento de área na superfície do cone e depois multiplicar pela densidade de carga
para encontrar o elemento de carga
.
Primeiro, o elemento de área em coordenadas cilíndricas na superfície do cone pode ser expresso como:
onde
é um pequeno deslocamento ao longo da superfície. No caso do cone,
pode ser relacionado a
pela inclinação:
Sabemos que
, então:
Portanto,
Agora, substituindo
em
:
A densidade superficial de carga é
. Então, o elemento de carga é:
Passo 4
Parte (c): Calcular a carga total da distribuição.
Para encontrar a carga total
, vamos integrar o elemento de carga
sobre toda a superfície do cone. Isso significa integrar para
de
até
e para
de
até
.
Podemos separar as integrais:
Calculando a integral em
:
Agora, a integral em
:
Fazendo uma substituição
,
, então
e quando
,
, quando
,
.
Integrando por partes:
Avaliado de
a
:
Então,
Finalmente, substituindo de volta:
Resposta
A carga total da distribuição é: