Questão 1 Uma superfície cônica carregada tem raio a, altura h e o vértice para baixo. As coordenadas cilíndricas são coaxiais ao cone e têm origem no seu vértice. Nesse sistema, a densidade superficial de carga é sigma(z)=sigma0 cos (pi z /(2 h)). Determine:
(a) a equação cilíndrica da superfície cônica;
(b) o elemento de carga, em função da coordenada z;
(c) a carga total da distribuição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre uma superfície cônica carregada. A gente vai precisar usar coordenadas cilíndricas e entender um pouco sobre densidade superficial de carga. Vamos lá, vou te explicar passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a equação cilíndrica da superfície cônica.
Primeiro, vamos entender a geometria do cone. Temos que o cone tem altura h e raio da base a. Como estamos usando coordenadas cilíndricas (rho, phi, z) e o vértice está na origem, a equação do cone relaciona rho e z.
A inclinação do cone pode ser descrita pela relação entre o raio da base e a altura:
rhoz = ah
Então, a equação cilíndrica do cone é:
rho = ah z

Passo 3

Parte (b): Determinar o elemento de carga em função da coordenada z.
Vamos calcular um pequeno elemento de área na superfície do cone e depois multiplicar pela densidade de carga sigma(z) para encontrar o elemento de carga dq.
Primeiro, o elemento de área em coordenadas cilíndricas na superfície do cone pode ser expresso como:
dA = rho , dphi , ds
onde ds é um pequeno deslocamento ao longo da superfície. No caso do cone, ds pode ser relacionado a dz pela inclinação:
ds = raiz1 + (drhodz)^2 , dz
Sabemos que rho = ah z, então:
drhodz = ah
Portanto,
ds = raiz1 + (ah)^2 , dz = raizh^2 + a^2h , dz
Agora, substituindo rho = ah z em dA:
dA = ah z , dphi , raizh^2 + a^2h , dz = a raizh^2 + a^2h^2 z , dphi , dz
A densidade superficial de carga é sigma(z) = sigma0 cos (pi z2 h). Então, o elemento de carga é:
dq = sigma(z) , dA = sigma0 cos (pi z2 h) cdot a raizh^2 + a^2h^2 z , dphi , dz

Passo 4

Parte (c): Calcular a carga total da distribuição.
Para encontrar a carga total Q, vamos integrar o elemento de carga dq sobre toda a superfície do cone. Isso significa integrar para z de 0 até h e para phi de 0 até 2pi.
Q = integral0^2pi integral0^h sigma0 cos (pi z2 h) cdot a raizh^2 + a^2h^2 z , dz , dphi
Podemos separar as integrais:
Q = sigma0 a raizh^2 + a^2h^2 integral0^2pi dphi cdot integral0^h z cos (pi z2 h) dz
Calculando a integral em phi:
integral0^2pi dphi = 2pi
Agora, a integral em z:
integral0^h z cos (pi z2 h) dz
Fazendo uma substituição u = pi z2 h, du = pi2 h dz, então dz = 2 hpi du e quando z=0, u=0, quando z=h, u=pi2.
integral0^pi2 (2 hpi u) cos(u) cdot 2 hpi du = (4 h^2pi^2) integral0^pi2 u cos(u) du
Integrando por partes:
integral u cos(u) du = cos(u) u + sin(u)
Avaliado de 0 a pi2:
[cos(pi2) cdot pi2 + sin(pi2)] - [cos(0) cdot 0 + sin(0)] = 0 + 1 - 0 = 1
Então,
integral0^h z cos (pi z2 h) dz = 4 h^2pi^2 cdot 1 = 4 h^2pi^2
Finalmente, substituindo de volta:
Q = sigma0 a raizh^2 + a^2h^2 cdot 2pi cdot 4 h^2pi^2 = sigma0 a raizh^2 + a^2h^2 cdot 8 h^2pi = 8 a raizh^2 + a^2pi sigma0

Resposta

A carga total da distribuição é:
Q = 8 a raizh^2 + a^2pi , sigma0

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