Considere um capacitor C que está sendo descarregado através de um resistor R. Depois de quantas constantes de tempo a carga no capacitor terá caído a um quarto de seu valor inicial?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um capacitor C sendo descarregado por um resistor R e quer saber depois de quantas constantes de tempo (τ = RC) a carga chegará a um quarto do valor inicial.
Conteúdo: circuitos RC em regime de descarga exponencial e uso de logaritmos.
O que vamos precisar:
  1. A equação da descarga de um capacitor,
  2. Saber que τ = RC,
  3. Resolver uma equação exponencial usando ln.

Passo 2

A teoria diz que, durante a descarga, a carga no capacitor varia assim:
Q(t) = Q0,e^-t/(RC)
onde Q₀ é a carga inicial e t é o tempo. Essa é a base da nossa resolução.

Passo 3

A gente quer Q(t) = Q₀/4. Então substituímos na fórmula:
Q04 = Q0,e^-t/(RC)
Divide dos lados por Q₀ (assumindo Q₀ ≠ 0):
14 = e^-t/(RC)

Passo 4

Para “tirar” a exponencial, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
lnl(tfrac14r) = lnl(e^-t/(RC)r)
Isso vira:
ln(1) - ln(4) = -tRC
Como ln(1)=0, fica
-ln(4) = -tRC
Logo
tRC = ln(4) = ln(2^2) = 2ln(2)approx 2times0,693 approx1,386

Resposta

Depois de aproximadamente 1,386 constantes de tempo (ou seja, tapprox1,386,tau) a carga cairá a um quarto do valor inicial.

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