Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância de 20 cm . O fio da esquerda conduz uma corrente de 8,0 \mathrm{~A} para cima, enquanto o da direita conduz uma corrente de 12 A para baixo.
a) Determine o módulo e a direção do campo magnético no ponto médio entre os fios.
b) Existe algum ponto sobre a linha que une os fios onde o campo magnético seja nulo? Justifique.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
  • Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância de 0,20\\ \mathrm{m}.
  • Fio da esquerda: corrente I_1 = 8{,}0\\ \mathrm{A} para cima.
  • Fio da direita: corrente I_2 = 12\\ \mathrm{A} para baixo.
  • Pede-se:
    (a) o módulo e a direção do campo magnético no ponto médio entre os fios;
    (b) se existe algum ponto sobre a linha que une os fios onde o campo magnético seja nulo, e justificativa.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • Para um fio longo e retilíneo, o campo magnético a uma distância r do fio tem módulo dado por
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}, I é a corrente no fio e r é a distância do ponto até o fio.
  • Explicando a fórmula: ela vem da Lei de Ampère / Biot–Savart para um fio muito longo; a constante \frac{\mu_0}{2\pi} vem do cálculo integral e garante as unidades corretas (tesla quando I em ampere e r em metro).
  • Direção do campo: o campo forma círculos concêntricos ao redor do fio. Para determinar o sentido usa-se a regra da mão direita: coloque o polegar na direção da corrente e os dedos enrolam indicando o sentido do campo. Em palavras simples: se a corrente está para cima, ao observar um ponto à direita do fio os dedos apontam “para fora da página” (ou “para dentro”, depende da posição), e assim por diante. Vou aplicar isso ao ponto médio.

Passo 3

Entendimento geométrico para o ponto médio:
  • A distância entre fios é d=0,20\\ \mathrm{m}. O ponto médio está a r_1=r_2=\tfrac{d}{2}=0,10\\ \mathrm{m} de cada fio.
  • Calculo do módulo do campo produzido por cada fio no ponto médio usando a fórmula:
B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1},\qquad B_2=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2}.
Como r_1=r_2=0,10\\ \mathrm{m}, as expressões ficam proporcionais às correntes I_1 e I_2.

Passo 4

Determinar o sentido dos campos no ponto médio (regra da mão direita, bem mastigado):
  • Para o fio da esquerda com I_1 para cima: coloque o polegar apontando para cima; os dedos enrolados mostram que, no ponto que fica à direita do fio (o ponto médio), o campo aponta para fora da página (vou chamar de “fora da página”).
  • Para o fio da direita com I_2 para baixo: coloque o polegar para baixo; no ponto que fica à esquerda desse fio (o ponto médio), os dedos também apontam para fora da página.
    Portanto os dois campos no ponto médio têm o mesmo sentido (ambos “fora da página”) e, portanto, seus módulos se somam.

Passo 5

Cálculo numérico do campo no ponto médio:
  • Soma dos módulos porque têm mesmo direção:
B_{\text{total}} = B_1 + B_2 = \frac{\mu_0}{2\pi}\left(\frac{I_1}{r_1}+\frac{I_2}{r_2}\right).
Como r_1=r_2=r=0,10\\ \mathrm{m},
B_{\text{total}}=\frac{\mu_0}{2\pi}\frac{I_1+I_2}{r}.
  • Substituindo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}:
\frac{\mu_0}{2\pi}=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}=2\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.
  • Então
B_{\text{total}}=2\times10^{-7}\cdot\frac{I_1+I_2}{r} =2\times10^{-7}\cdot\frac{8{,}0+12}{0,10}.
  • Calcule passo a passo:
I_1+I_2=20{,}0\\ \mathrm{A}, \qquad \frac{20{,}0}{0,10}=200.
B_{\text{total}}=2\times10^{-7}\times200=4\times10^{-5}\\ \mathrm{T}.
Portanto o módulo é 4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}, e o sentido já determinamos: fora da página (usando a regra da mão direita como expliquei).

Passo 6

Analisando a existência de ponto com campo nulo sobre a linha que une os fios:
  • Primeiro observação importante: no segmento entre os fios (entre eles) os campos apontam no mesmo sentido (como vimos no ponto médio). Logo NÃO pode haver cancelamento entre os fios em nenhum ponto entre eles.
  • Porém, pontos fora do segmento (à esquerda do fio da esquerda ou à direita do fio da direita) podem ter campo de sentidos opostos (porque ao passar para o outro lado de um fio o sentido do campo produzido por esse fio muda), então pode existir uma posição nessa linha estendida onde os módulos se igualem e se cancelem.

Passo 7

Cálculo da posição do ponto onde B=0 (se existir) ao longo da linha que une os fios (vou tomar um eixo x com o fio da esquerda em x=0 e o fio da direita em x=d=0,20\\ \mathrm{m}):
  • Seja x a posição do ponto buscado (posição ao longo da linha, em metros). Distâncias aos fios são r_1=|x-0|=|x| e r_2=|x-d|.
  • Para que o campo resultante seja nulo precisamos que os módulos sejam iguais e os sentidos opostos. Como já argumentado, isso só pode ocorrer fora do segmento, então procuremos solução com x<0 (à esquerda do fio da esquerda) ou x>d (à direita do fio da direita).
  • Igualando os módulos:
\frac{\mu_0 I_1}{2\pi|x|}=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi|x-d|}\quad\Longrightarrow\quad \frac{I_1}{|x|}=\frac{I_2}{|x-d|}.
  • Cancele constantes e resolva. Para o caso x<0 temos |x|=-x e |x-d|=d-x. Logo
\frac{I_1}{-x}=\frac{I_2}{d-x}.
Multiplicando:
I_1(d-x)=I_2(-x)\quad\Longrightarrow\quad I_1 d = x(I_1-I_2).
Portanto
x=\frac{I_1 d}{I_1-I_2}.
  • Substituindo I_1=8{,}0\\ \mathrm{A}, I_2=12\\ \mathrm{A}, d=0,20\\ \mathrm{m}:
x=\frac{8{,}0\times0,20}{8{,}0-12}=\frac{1{,}6}{-4}=-0{,}40\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: x=-0{,}40\\ \mathrm{m} significa que o ponto está 0{,}40\\ \mathrm{m} à esquerda do fio da esquerda. Verificação de consistência: esse x pertence à região x<0, então a solução é válida. Não há solução física na região x>d com as correntes dadas (o mesmo cálculo mostra que a única solução matemática dada é x=-0{,}40\\ \mathrm{m}).

Passo 8

Conclusão e interpretação física (tomando cuidado para entender o resultado):
  • Não existe ponto entre os fios com B=0 porque naquele intervalo as contribuições têm o mesmo sentido e somam.
  • Existe, porém, um ponto sobre a linha que une os fios (na sua extensão) onde o campo é nulo: fica a 0{,}40\\ \mathrm{m} à esquerda do fio da esquerda. Esse ponto está a 0{,}60\\ \mathrm{m} do fio da direita (porque 0{,}40+0{,}20=0{,}60\\ \mathrm{m}).
  • Intuição: o campo se anula do lado do fio com a corrente menor (neste caso do lado esquerdo, porque a corrente menor é 8{,}0\\ \mathrm{A}), e a posição de anulação fica mais afastada do fio mais fraco, de modo que as intensidades dos campos se igualem.

Resposta

(a) B=4{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{T}, dirigida para fora da página (usando a regra da mão direita).
(b) Sim. Há um ponto com B=0 localizado a 0{,}40\\ \mathrm{m} à esquerda do fio da esquerda (ou seja, a 0{,}60\\ \mathrm{m} do fio da direita).

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