Dois fios longos e paralelos estão separados por uma distância de 20 cm . O fio da esquerda conduz uma corrente de
para cima, enquanto o da direita conduz uma corrente de 12 A para baixo.
a) Determine o módulo e a direção do campo magnético no ponto médio entre os fios.
b) Existe algum ponto sobre a linha que une os fios onde o campo magnético seja nulo? Justifique.
a) Determine o módulo e a direção do campo magnético no ponto médio entre os fios.
b) Existe algum ponto sobre a linha que une os fios onde o campo magnético seja nulo? Justifique.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado:
- Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância de
. - Fio da esquerda: corrente
para cima. - Fio da direita: corrente
para baixo. - Pede-se:
(a) o módulo e a direção do campo magnético no ponto médio entre os fios;
(b) se existe algum ponto sobre a linha que une os fios onde o campo magnético seja nulo, e justificativa.
Passo 2
Conceitos e fórmula que vou usar (explicação didática):
- Para um fio longo e retilíneo, o campo magnético a uma distância
do fio tem módulo dado por
onde
é a permeabilidade do vácuo,
,
é a corrente no fio e
é a distância do ponto até o fio.
- Explicando a fórmula: ela vem da Lei de Ampère / Biot–Savart para um fio muito longo; a constante
vem do cálculo integral e garante as unidades corretas (tesla quando em ampere e em metro). - Direção do campo: o campo forma círculos concêntricos ao redor do fio. Para determinar o sentido usa-se a regra da mão direita: coloque o polegar na direção da corrente e os dedos enrolam indicando o sentido do campo. Em palavras simples: se a corrente está para cima, ao observar um ponto à direita do fio os dedos apontam “para fora da página” (ou “para dentro”, depende da posição), e assim por diante. Vou aplicar isso ao ponto médio.
Passo 3
Entendimento geométrico para o ponto médio:
- A distância entre fios é
. O ponto médio está a de cada fio. - Calculo do módulo do campo produzido por cada fio no ponto médio usando a fórmula:
Como
, as expressões ficam proporcionais às correntes
e
.
Passo 4
Determinar o sentido dos campos no ponto médio (regra da mão direita, bem mastigado):
- Para o fio da esquerda com
para cima: coloque o polegar apontando para cima; os dedos enrolados mostram que, no ponto que fica à direita do fio (o ponto médio), o campo aponta para fora da página (vou chamar de “fora da página”). - Para o fio da direita com
para baixo: coloque o polegar para baixo; no ponto que fica à esquerda desse fio (o ponto médio), os dedos também apontam para fora da página.
Portanto os dois campos no ponto médio têm o mesmo sentido (ambos “fora da página”) e, portanto, seus módulos se somam.
Passo 5
Cálculo numérico do campo no ponto médio:
- Soma dos módulos porque têm mesmo direção:
Como
,
- Substituindo
:
- Então
- Calcule passo a passo:
Portanto o módulo é
, e o sentido já determinamos: fora da página (usando a regra da mão direita como expliquei).
Passo 6
Analisando a existência de ponto com campo nulo sobre a linha que une os fios:
- Primeiro observação importante: no segmento entre os fios (entre eles) os campos apontam no mesmo sentido (como vimos no ponto médio). Logo NÃO pode haver cancelamento entre os fios em nenhum ponto entre eles.
- Porém, pontos fora do segmento (à esquerda do fio da esquerda ou à direita do fio da direita) podem ter campo de sentidos opostos (porque ao passar para o outro lado de um fio o sentido do campo produzido por esse fio muda), então pode existir uma posição nessa linha estendida onde os módulos se igualem e se cancelem.
Passo 7
Cálculo da posição do ponto onde
(se existir) ao longo da linha que une os fios (vou tomar um eixo
com o fio da esquerda em
e o fio da direita em
):
- Seja
a posição do ponto buscado (posição ao longo da linha, em metros). Distâncias aos fios são e . - Para que o campo resultante seja nulo precisamos que os módulos sejam iguais e os sentidos opostos. Como já argumentado, isso só pode ocorrer fora do segmento, então procuremos solução com
(à esquerda do fio da esquerda) ou (à direita do fio da direita). - Igualando os módulos:
- Cancele constantes e resolva. Para o caso
temos e . Logo
Multiplicando:
Portanto
- Substituindo
, , :
- Interpretação:
significa que o ponto está à esquerda do fio da esquerda. Verificação de consistência: esse pertence à região , então a solução é válida. Não há solução física na região com as correntes dadas (o mesmo cálculo mostra que a única solução matemática dada é ).
Passo 8
Conclusão e interpretação física (tomando cuidado para entender o resultado):
- Não existe ponto entre os fios com
porque naquele intervalo as contribuições têm o mesmo sentido e somam. - Existe, porém, um ponto sobre a linha que une os fios (na sua extensão) onde o campo é nulo: fica a
à esquerda do fio da esquerda. Esse ponto está a do fio da direita (porque ). - Intuição: o campo se anula do lado do fio com a corrente menor (neste caso do lado esquerdo, porque a corrente menor é
), e a posição de anulação fica mais afastada do fio mais fraco, de modo que as intensidades dos campos se igualem.
Resposta
(a)
, dirigida para fora da página (usando a regra da mão direita).
(b) Sim. Há um ponto com localizado a
à esquerda do fio da esquerda (ou seja, a
do fio da direita).
(b) Sim. Há um ponto com