Uma partícula de carga positiva e razão carga/massa
entra perpendicularmente em um campo magnético uniforme de módulo
.
a) Determine o raio da trajetória.
b) Calcule o período do movimento.
c) A velocidade influencia o período? Justifique.
a) Determine o raio da trajetória.
b) Calcule o período do movimento.
c) A velocidade influencia o período? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
- razão carga/masa:
. - campo magnético uniforme:
. - a partícula entra perpendicularmente ao campo (isto é, sua velocidade inicial tem
perpendicular a ).
Perguntas:
(a) Determine o raio da trajetória.
(b) Calcule o período do movimento.
(c) A velocidade influencia o período? Justifique.
(a) Determine o raio da trajetória.
(b) Calcule o período do movimento.
(c) A velocidade influencia o período? Justifique.
Passo 2
Vamos entender a física e as fórmulas que usam essas grandezas (aulas passo a passo, devagar e sem pânico).
- Força magnética sobre carga em movimento (caso perpendicular):
A força magnética tem módulo dado por
quando a velocidade
é perpendicular ao campo
. Aqui:
-
é a carga (em coulombs), -
é a velocidade escalar (m/s), -
é o módulo do campo magnético (tesla).
- Movimento circular uniforme (M.U.C.) como consequência:
Se a força magnética é sempre perpendicular à velocidade, ela atua como força centrípeta. A força centrípeta necessária para manter movimento circular de raioé
onde
é a massa (kg).
Igualando a força magnética à centrípeta (pois a força magnética fornece a centrípeta):
- Isolando o raio
: cancele um (assumindo ):
Explicando as variáveis:
é o raio da trajetória (m); vê-se que
é proporcional à velocidade
— se
aumenta, a curva fica mais larga.
Usando a razão
para escrever em termos dos dados fornecidos: como
, podemos escrever
Este é o resultado para o raio em função de
e dos dados conhecidos.
Passo 3
Agora vamos tratar do período do movimento (quanto tempo demora para dar uma volta completa).
- Velocidade angular e frequência ciclotrônica: da equação
pode-se obter a velocidade angular (porque ):
Note que
tem unidades de rad/s e depende só de
e de
.
- Período
(tempo para uma volta) relaciona-se com por
Substituindo
:
Usando a razão
fica mais direto computar com os dados:
- Calcule numericamente
usando os valores dados (peguei e do enunciado):
Logo
Avaliação numérica (usei
):
Passo 4
Interpretação e resposta à (c): a influência da velocidade sobre o período.
Da fórmula obtida para o período,
observa-se que
não contém
. Ou seja, o período depende apenas da razão
e do campo
, não da velocidade inicial. Intuitivamente: partículas mais rápidas descrevem círculos de raio maior, mas percorrem esses círculos com a mesma velocidade angular
, então o tempo para completar uma volta é o mesmo. Exemplo rápido: se dobrar
, dobra-se
(pela fórmula do passo 2), mas
não muda, então
continua igual.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não; o período não depende da velocidade, pois (não há
nessa expressão).
(b)
(c) Não; o período não depende da velocidade, pois