Uma partícula de carga positiva e razão carga/massa q / m=4,8 \times 10^{7} \mathrm{C} / \mathrm{kg} entra perpendicularmente em um campo magnético uniforme de módulo B=0,60 \mathrm{~T}.
a) Determine o raio da trajetória.
b) Calcule o período do movimento.
c) A velocidade influencia o período? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados fornecidos:
  • razão carga/masa: \dfrac{q}{m}=4,8\times10^{7}\\ \mathrm{C/kg}.
  • campo magnético uniforme: B=0,60\\ \mathrm{T}.
  • a partícula entra perpendicularmente ao campo (isto é, sua velocidade inicial tem |\mathbf{v}| perpendicular a \mathbf{B}).
Perguntas:
(a) Determine o raio da trajetória.
(b) Calcule o período do movimento.
(c) A velocidade influencia o período? Justifique.

Passo 2

Vamos entender a física e as fórmulas que usam essas grandezas (aulas passo a passo, devagar e sem pânico).
  1. Força magnética sobre carga em movimento (caso perpendicular):
    A força magnética tem módulo dado por
F_B = q\,v\,B,
quando a velocidade \mathbf{v} é perpendicular ao campo \mathbf{B}. Aqui:
  • q é a carga (em coulombs),
  • v é a velocidade escalar (m/s),
  • B é o módulo do campo magnético (tesla).
  1. Movimento circular uniforme (M.U.C.) como consequência:
    Se a força magnética é sempre perpendicular à velocidade, ela atua como força centrípeta. A força centrípeta necessária para manter movimento circular de raio r é
F_{\rm cent} = m\,\frac{v^{2}}{r},
onde m é a massa (kg).
Igualando a força magnética à centrípeta (pois a força magnética fornece a centrípeta):
q\,v\,B = m\,\frac{v^{2}}{r}.
  1. Isolando o raio r: cancele um v (assumindo v\neq0):
r = \frac{m\,v}{q\,B}.
Explicando as variáveis: r é o raio da trajetória (m); vê-se que r é proporcional à velocidade v — se v aumenta, a curva fica mais larga.
Usando a razão \dfrac{q}{m} para escrever em termos dos dados fornecidos: como \dfrac{m}{q}=\dfrac{1}{(q/m)}, podemos escrever
r = \frac{v}{\left(\dfrac{q}{m}\right) B}.
Este é o resultado para o raio em função de v e dos dados conhecidos.

Passo 3

Agora vamos tratar do período do movimento (quanto tempo demora para dar uma volta completa).
  1. Velocidade angular e frequência ciclotrônica: da equação q\,v\,B = m\,\dfrac{v^{2}}{r} pode-se obter a velocidade angular \omega (porque v=r\omega):
q\,B = m\,\omega \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{q\,B}{m}.
Note que \omega tem unidades de rad/s e depende só de q/m e de B.
  1. Período T (tempo para uma volta) relaciona-se com \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega:
T = \frac{2\pi m}{q B}.
Usando a razão q/m fica mais direto computar com os dados:
T = \frac{2\pi}{\left(\dfrac{q}{m}\right) B}.
  1. Calcule numericamente \left(\dfrac{q}{m}\right)B usando os valores dados (peguei \dfrac{q}{m} e B do enunciado):
\left(\dfrac{q}{m}\right)B = (4,8\times10^{7})\times(0,60)=2,88\times10^{7}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Logo
T=\frac{2\pi}{2,88\times10^{7}}.
Avaliação numérica (usei 2\pi\approx6,2831853):
T \approx \frac{6,2831853}{2,88\times10^{7}}\approx 2,18\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Interpretação e resposta à (c): a influência da velocidade sobre o período.
Da fórmula obtida para o período,
T=\frac{2\pi m}{q B}=\frac{2\pi}{\left(\dfrac{q}{m}\right)B},
observa-se que T não contém v. Ou seja, o período depende apenas da razão \dfrac{q}{m} e do campo B, não da velocidade inicial. Intuitivamente: partículas mais rápidas descrevem círculos de raio maior, mas percorrem esses círculos com a mesma velocidade angular \omega=\dfrac{qB}{m}, então o tempo para completar uma volta é o mesmo. Exemplo rápido: se dobrar v, dobra-se r (pela fórmula do passo 2), mas \omega não muda, então T continua igual.

Resposta

(a) \displaystyle r=\frac{m\,v}{q\,B}=\frac{v}{\left(\dfrac{q}{m}\right)B}=\frac{v}{2,88\times10^{7}}\\ \mathrm{m}.
(b) \displaystyle T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi}{\left(\dfrac{q}{m}\right)B}\approx 2,18\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
(c) Não; o período não depende da velocidade, pois \displaystyle T=\dfrac{2\pi m}{qB} (não há v nessa expressão).

Exercícios relacionados