Um condutor cilíndrico ôhmico de raio a e condutividade sigma carrega corrente estacionária I distribuida uniformemente sobre a seção reta do condutor.
(a) Calcule o campo elétrico E dentro do condutor.
(b) Calcule o campo magnético B imediatamente fora do condutor.
© Calcule o vetor de Poynting S na superfície do condutor, para onde S aponta?
(d) Integrando S sobre uma superfície apropriada mostre que a taxa em que a energia eletromagnética entra na superficie do condutor é igual a taxa em que a energia elétrica é dissipada no condutor.

Passo 1

O enunciado pede para achar dentro de um condutor cilíndrico ôhmico (raio a, condutividade σ, corrente I uniformemente distribuída na seção) o campo elétrico, o campo magnético na superfície, o vetor de Poynting na superfície e depois mostrar que o fluxo de Poynting que entra iguala a energia dissipada. Vamos usar: a lei de Ohm ( vec J=σvec E), a Lei de Ampère para vec B, e a definição vec S=1μ0,vec Etimesvec B, além de cálculo de potência (Joule) por P=integral Jcdot E,dV.

Passo 2

Primeiro encontramos a densidade de corrente, já que a corrente I está uniformemente distribuída em uma seção de área πa^2. Assim
vec J=Ipi a^2,hat z
onde hat z é o eixo do fio.

Passo 3

Aplicando a lei de Ohm local vec J=σvec E, obtemos o campo elétrico dentro do condutor:
vec E=vec Jσ=Iσ,πa^2,hat z

Passo 4

Para o campo magnético fora do fio, usamos a Lei de Ampère em um circuito circular de raio r>a:
ointvec Bcdot dvec ell=μ0Irm int Rightarrow Bphi(r),2πr=μ0I
Logo, imediatamente fora ( r=a):
vec B=μ0I2πa,hatphi

Passo 5

Na superfície do condutor calculamos o vetor de Poynting
vec S=1μ0,vec Etimesvec B
Com vec E na direção hat z e vec B em hatphi, tem-se
vec S=1μ0,Iσπa^2,hat ztimesμ0I2πa,hatphi=-I^22π^2σa^3,hat r
Ou seja, aponta radialmente para dentro do condutor.

Passo 6

Agora integramos o fluxo de Poynting pela superfície cilíndrica de comprimento L:
Prm in=-integral duplavec Scdot dvec A=S,(2πaL)=Iσπa^2,I2πa,2πaL=I^2Lσπa^2

Passo 7

Por fim calculamos a potência dissipada (Joule) dentro do condutor:
PJ=integral!σE^2,dV=σl(Iσπa^2r)^2(πa^2L)=I^2Lσπa^2
Vemos que Prm in=PJ, ou seja, a taxa de energia entrando pelo campo é igual à taxa dissipada internamente.

Resposta

(a) vec E=dfracIσ,πa^2,hat z
(b) vec Bl(r=ar)=dfracμ0I2πa,hatphi
© vec S=dfrac1μ0,vec Etimesvec B=-dfracI^22π^2σa^3,hat r, aponta radialmente para dentro do condutor.
(d) A integração do fluxo de vec S na superfície cilíndrica de comprimento L I^2L/(σπa^2), que coincide com a potência Joule I^2L/(σπa^2). Portanto, a energia que entra eletromagneticamente é igual à dissipada no condutor.

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