Suponha que tenhamos uma onda plana definida por
E0 & =E0 cos (omega t-k x) y, B0 & =B0 cos (omega t-k x) z,
Incidindo sobre um plano condutor ôhmico de condutividade sigma e espessura D ll lambda, colocado em x=0, onde lambda é a componente de onda incidente.
(a) Qual a corrente J que fluirá no plano condutor?
(b) Qual o campo E1 e B1 que esse plano oscilante gerará em x>0 e x<0 ?
© Encontre as condições para que E1, cancele exatamente E0. Mostre que nessas condições E1 para x<0 gera uma onda refletida propagando-se no sentido oposto à onda incidente. Isso é como um condutor muito bom reflete totalmente as ondas eletromagnéticas.
(d) O que acontece com B1 para x>0 e x<0 ?

Passo 1

O enunciado diz que uma onda plana
E0=E0cos(omega t-kx),hat y, B0=B0cos(omega t-kx),hat z
incide num plano condutor ôhmico de condutividade σ e espessura D≪λ em x=0. Vamos usar teoria de ondas e condições de contorno de Maxwell para calcular a corrente induzida e os campos gerados nas duas regiões (x<0 e x>0).

Passo 2

Para (a) usamos a lei de Ohm local vec J=σvec E. Dentro do condutor fino (D≪λ) o campo elétrico é quase o incidente em x=0, então
vec J(t)=σ,E0cos(omega t),hat y
Se quisermos a densidade de corrente de superfície (sheet current) definimos vec K=vec J,D, ou seja
vec K(t)=σD,E0cos(omega t),hat y

Passo 3

Em (b) representamos o campo gerado pelo plano como duas ondas: uma transmitida para x>0 e uma refletida para x<0. Ou seja, definimos amplitudes A+ e A- tais que
vec E1(x,t)= A+cos(omega t - kx),hat y,&x>0, A-cos(omega t + kx),hat y,&x<0,
vec B1(x,t)= tfracA+ccos(omega t - kx),hat z,&x>0, -tfracA-ccos(omega t + kx),hat z,&x<0

Passo 4

Para determinar A+ e A- aplicamos em x=0 (i) continuidade da componente tangencial de vec E:
E0cos(omega t)+A-cos(omega t)=A+cos(omega t)\ne (ii) condição de salto do campo magnético dada por
hat xtimesl(vec H+ - (vec H0+vec H-)r)=vec K,
onde vec H=vec B/mu0. Em regime senoidal isso leva, após cancelar o cos(omega t), ao sistema
$$\begin{cases}
E_0 + A_- = A_+,\
-\dfrac{A_+ - E_0 + A_-}{\mu_0 c}=σD,(E_0 + A_-).
\end{cases}$$

Passo 5

Resolvendo esse sistema achamos
A+=2/(mu0c)2/(mu0c)+σD;E0, A-=-σD2/(mu0c)+σD;E0

Passo 6

Em © a condição de cancelamento exato de vec E0 pelo campo gerado dentro do condutor (ou seja campo total no condutor zero) corresponde ao limite de condutor ótimo
$$σD\gg\frac{2}{μ_0c}.
σDgg2μ0c A_+\to0,\quad A_-\to -E_0,$$
e o campo gerado para x<0 é
$$\vec E_1(x,t)= -E_0\cos(\omega t + kx),\hat y,
$$
que é exatamente a onda refletida propagando-se no sentido oposto à incidente.

Passo 7

Finalmente, em (d) para esse condutor ideal temos
vec B1(x,t)=0,&x>0, dfracE0ccos(omega t + kx),hat z,&x<0,
ou seja nenhuma transmissão ( x>0) e uma onda refletida em x<0 com B1=E0/ccos(omega t + kx)hat z.

Resposta

(a) vec J(t)=σE0cos(omega t),hat y e densidade de corrente de superfície vec K(t)=σD E0cos(omega t),hat y
(b)
vec E1(x,t)=A+cos(omega t - kx),hat y,&x>0,A-cos(omega t + kx),hat y,&x<0,
vec B1(x,t)=tfracA+ccos(omega t - kx),hat z,&x>0,-tfracA-ccos(omega t + kx),hat z,&x<0,
com
$$A_+=\frac{2/(\mu_0c)}{2/(\mu_0c)+σD},E_0,
\quad
A_-=-\frac{σD}{2/(\mu_0c)+σD},E_0.
$$
© Para A+=2/(mu0c)2/(mu0c)+σD,E0, A-=-σD2/(mu0c)+σD,E0 obtemos σDgg2/(mu0c), A+to0, o que faz A-to- E0 e a onda refletida vec Etotal(no condutor)=0.
(d) Nessa situação vec E1=-E0cos(omega t+kx)hat y em vec B1=0 e x>0 em vec B1=tfracE0ccos(omega t+kx),hat z, mostrando reflexão total.

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