Considere as duas soluções das equações de Maxwell no vácuo dadas por:
Elas representam pulsos gaussianos de largura que se propagam na direção , em sentidos opostos, e que se superpõem completamente em .
(a) Calcule a densidade de energia e o vetor de Poynting que corresponde à soma dessas dessas duas soluções, isto é,
Este exercício trata de pulsos gaussianos que satisfazem as equações de Maxwell no vácuo. Vamos precisar das fórmulas da densidade de energia u=tfracvarepsilon02E^2+tfrac12mu0B^2 e do vetor de Poynting vec S=tfrac1mu0,vec Etimesvec B, sabendo que B=E/c e mu0varepsilon0=1/c^2.
Passo 2
Somando as soluções definimos
E(z,t)=E1e^-(z-ct)^2b^2+E2e^-(z+ct)^2b^2,
e similarmente para B(z,t)=E1/c,e^-(z-ct)^2b^2-E2/c,e^-(z+ct)^2b^2.
Passo 3
Substituindo em u e usando B^2/(2mu0)=varepsilon0E^2/2 obtemos
mostrando dois pacotes de energia que se aproximam.
Passo 6
Em t=0 temos sobreposição completa. Então
nu( z,0)=varepsilon0(E1+E2)^2e^-2z^2b^2,
vec S(z,0)=varepsilon0c(E1^2-E2^2)e^-2z^2b^2hat z
Se E1=E2 então vec S=0 e a energia fica estacionária no centro.
Passo 7
No tempo t=+T0gg b/c ocorre o processo inverso de t=-T0: os pulsos já passaram pelo centro e se afastam para z=+cT0 e z=-cT0 com densidade e Poynting análogos ao caso (b).
Passo 8
Se alteramos a polarização de E2 trocando o sinal de E2 em Ex e By, achamos
vec S=varepsilon0cl[E1^2e^-2(z-ct)^2b^2+E2^2e^-2(z+ct)^2b^2-2E1E2e^-(z-ct)^2+(z+ct)^2b^2r]hat z
Resposta
a) u=varepsilon0l[E1e^-tfrac(z-ct)^2b^2+E2e^-tfrac(z+ct)^2b^2r]^2, vec S=varepsilon0cl[E1^2e^-2tfrac(z-ct)^2b^2-E2^2e^-2tfrac(z+ct)^2b^2r]hat z.
b) Em t=-T0 os pulsos estão separados em z=mp cT0 e movem-se um em direção ao outro com os mesmos perfis gaussianos.
c) Em t=0: u=varepsilon0(E1+E2)^2e^-2z^2/b^2, vec S=varepsilon0c(E1^2-E2^2)e^-2z^2/b^2hat z. Se E1=E2 então vec S=0.
d) Em t=+T0 os pulsos estão novamente separados em z=pm cT0, agora afastando-se.
e) Com polarização invertida de E2: u=varepsilon0[E1e^-tfrac(z-ct)^2b^2-E2e^-tfrac(z+ct)^2b^2]^2 e vec S=varepsilon0cl[E1^2e^-2tfrac(z-ct)^2b^2+E2^2e^-2tfrac(z+ct)^2b^2-2E1E2e^-tfrac(z-ct)^2+(z+ct)^2b^2r]hat z.