Considere as duas soluções das equações de Maxwell no vácuo dadas por:
ll E1(z, t)=E1 x e^-(z-c t)^2b^2 ; & B1(z, t)=E1c y e^-(z-c t)^2b^2 E2(z, t)=E2 x e^-(z+c t)^2b^2 ; & B2(z, t)=-E2c y e^-(z+c t)^2b^2
Elas representam pulsos gaussianos de largura b que se propagam na direção z, em sentidos opostos, e que se superpõem completamente em t=0.
(a) Calcule a densidade de energia u(z, t) e o vetor de Poynting S(z, t) que corresponde à soma dessas dessas duas soluções, isto é,
E(z, t)=E1(z, t)+E2(z, t), B(z, t)=B1(z, t)+B2(z, t)
(b) Considere a situação num instante t=-T0, com T0 gg b / c. Mostre que então tanto a densidade de energia u como o vetor de Poynting S se concentram em duas regiões distintas do espaço que se movem uma em direção da outra.
© Agora considere a situação em t=0 em que os dois pulsos se superpõem. Descreva u e S nessa situação. O que acontece se E1=E2 nesse casso ?
(d) Descreva a situação num tempo t=T0, bem depois do instante em que os pulsos se superpõem.
(e) Como se modificam os resultados se a polarização da segunda solução E2(z, t), B2(z, t) acima dos modificada de modo que ela seja dada por
E2(z, t)=-E2 x e^-(z+c t)^2b^2 ; B2(z, t)=E2c y e^-(z+c t)^2b^2

Passo 1

Este exercício trata de pulsos gaussianos que satisfazem as equações de Maxwell no vácuo. Vamos precisar das fórmulas da densidade de energia u=tfracvarepsilon02E^2+tfrac12mu0B^2 e do vetor de Poynting vec S=tfrac1mu0,vec Etimesvec B, sabendo que B=E/c e mu0varepsilon0=1/c^2.

Passo 2

Somando as soluções definimos
E(z,t)=E1e^-(z-ct)^2b^2+E2e^-(z+ct)^2b^2,
e similarmente para B(z,t)=E1/c,e^-(z-ct)^2b^2-E2/c,e^-(z+ct)^2b^2.

Passo 3

Substituindo em u e usando B^2/(2mu0)=varepsilon0E^2/2 obtemos
u(z,t)=varepsilon0l[E1e^-(z-ct)^2b^2+E2e^-(z+ct)^2b^2r]^2

Passo 4

Computando vec S=tfrac1mu0(Exhat x)times(Byhat y)
vec S(z,t)=varepsilon0cl[E1^2e^-2(z-ct)^2b^2-E2^2e^-2(z+ct)^2b^2r]hat z

Passo 5

No instante t=-T0 com T0gg b/c, os pulsos estão longe um do outro em zapprox -cT0 (pulso 1) e em zapprox +cT0 (pulso 2). Assim
uapproxvarepsilon0l[E1^2e^-2(z+cT0)^2b^2+E2^2e^-2(z-cT0)^2b^2r],
vec Sapproxvarepsilon0cl[E1^2e^-2(z+cT0)^2b^2-E2^2e^-2(z-cT0)^2b^2r]hat z,
mostrando dois pacotes de energia que se aproximam.

Passo 6

Em t=0 temos sobreposição completa. Então
nu( z,0)=varepsilon0(E1+E2)^2e^-2z^2b^2,
vec S(z,0)=varepsilon0c(E1^2-E2^2)e^-2z^2b^2hat z
Se E1=E2 então vec S=0 e a energia fica estacionária no centro.

Passo 7

No tempo t=+T0gg b/c ocorre o processo inverso de t=-T0: os pulsos já passaram pelo centro e se afastam para z=+cT0 e z=-cT0 com densidade e Poynting análogos ao caso (b).

Passo 8

Se alteramos a polarização de E2 trocando o sinal de E2 em Ex e By, achamos
nu=varepsilon0l[E1e^-(z-ct)^2b^2-E2e^-(z+ct)^2b^2r]^2,
vec S=varepsilon0cl[E1^2e^-2(z-ct)^2b^2+E2^2e^-2(z+ct)^2b^2-2E1E2e^-(z-ct)^2+(z+ct)^2b^2r]hat z

Resposta

a) u=varepsilon0l[E1e^-tfrac(z-ct)^2b^2+E2e^-tfrac(z+ct)^2b^2r]^2, vec S=varepsilon0cl[E1^2e^-2tfrac(z-ct)^2b^2-E2^2e^-2tfrac(z+ct)^2b^2r]hat z.
b) Em t=-T0 os pulsos estão separados em z=mp cT0 e movem-se um em direção ao outro com os mesmos perfis gaussianos.
c) Em t=0: u=varepsilon0(E1+E2)^2e^-2z^2/b^2, vec S=varepsilon0c(E1^2-E2^2)e^-2z^2/b^2hat z. Se E1=E2 então vec S=0.
d) Em t=+T0 os pulsos estão novamente separados em z=pm cT0, agora afastando-se.
e) Com polarização invertida de E2: u=varepsilon0[E1e^-tfrac(z-ct)^2b^2-E2e^-tfrac(z+ct)^2b^2]^2 e
vec S=varepsilon0cl[E1^2e^-2tfrac(z-ct)^2b^2+E2^2e^-2tfrac(z+ct)^2b^2-2E1E2e^-tfrac(z-ct)^2+(z+ct)^2b^2r]hat z.

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