Sobre um plano horizontal 2 pequenos discos que deslizavam, sem atrito, colidem frontalmente. No instante imediatamente anterior à colisão o disco com massa de 400 g tinha velocidade de 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e o outro disco, de massa 200 g , tinha velocidade de 4,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerar a colisão perfeitamente elástica. Determinar as velocidades após a colisão.

Passo 1

Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda. Dados fornecidos:
m_1 = 400\,\text{g} = 0,400\\ \text{kg},
m_2 = 200\,\text{g} = 0,200\\ \text{kg},
\text{velocidade do disco 1 imediatamente antes da colisão } v_{1i} = 2,00\\ \mathrm{m/s},ã
\text{velocidade do disco 2 imediatamente antes da colisão } v_{2i} = 4,00\\ \mathrm{m/s}.ã
O enunciado diz que os discos “colidem frontalmente”. Isso significa que eles se aproximam um do outro vindo em sentidos opostos. Para resolver de forma consistente precisamos escolher um eixo de referência (sinal das velocidades). Vou escolher o sentido positivo alinhado com o movimento do disco 1 imediatamente antes da colisão. Assim, como a colisão é frontal, a velocidade do disco 2 antes da colisão tem sinal oposto ao indicado no enunciado; portanto usaremos
v_{1i}=+2,00\\ \mathrm{m/s},\qquad v_{2i}=-4,00\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede: determinar as velocidades finais v_{1f} e v_{2f} imediatamente após a colisão, sabendo que a colisão é perfeitamente elástica.

Passo 2

Princípio necessário 1 — conservação do momento linear (quantidade de movimento):
Em colisões isoladas (sem forças externas horizontais) o momento linear total se conserva. A fórmula para duas partículas é
m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f}.
Aqui m_1 e m_2 são as massas (em kg), v_{1i},v_{2i} são as velocidades antes da colisão e v_{1f},v_{2f} são as velocidades após a colisão. Essa equação dá uma relação linear entre v_{1f} e v_{2f}.

Passo 3

Princípio necessário 2 — conservação da energia cinética (colisão perfeitamente elástica):
Numa colisão perfeitamente elástica a energia cinética total se conserva. A equação é
\frac{1}{2}m_1 v_{1i}^{2}+\frac{1}{2}m_2 v_{2i}^{2}=\frac{1}{2}m_1 v_{1f}^{2}+\frac{1}{2}m_2 v_{2f}^{2}.
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
m_1 v_{1i}^2 + m_2 v_{2i}^2 = m_1 v_{1f}^2 + m_2 v_{2f}^2.
Essa é uma equação quadrática nas velocidades finais, mas combinada com a conservação do momento ela permite resolver unicamente v_{1f} e v_{2f}.

Passo 4

Uma forma muito prática (e que costuma cair na prova) é usar a propriedade de colisões elásticas em uma dimensão: a velocidade relativa se inverte. Em símbolos:
v_{1i}-v_{2i}=-(v_{1f}-v_{2f}).
Vou explicar por que essa relação vale: subtraindo a equação da conservação do momento multiplicada por algo apropriado da equação da energia, ou fazendo a álgebra entre as duas equações, chega-se a essa condição que diz que a velocidade relativa antes (velocidade do 1 em relação ao 2) tem mesma magnitude e sinal contrário depois da colisão. Essa relação é muito útil porque transforma o sistema (uma equação linear e outra quadrática) em duas equações lineares:
\begin{cases} m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f},\\[4pt] v_{1i}-v_{2i} = -(v_{1f}-v_{2f}). \end{cases}
Vou usar essas duas equações para encontrar v_{1f} e v_{2f}.]

Passo 5

Resolver o sistema linearmente. Da segunda equação temos
v_{1f}-v_{2f} = -(v_{1i}-v_{2i}) = v_{2i}-v_{1i}.
Agora temos o sistema
\begin{cases} m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i},\\[4pt] v_{1f} - v_{2f} = v_{2i} - v_{1i}. \end{cases}
Resolvendo esse sistema por eliminação: somamos uma combinação apropriada das equações para isolar v_{1f} e v_{2f}. Multiplicando a segunda equação por m_2 e somando à primeira, obtemos
m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} + m_2(v_{1f}-v_{2f}) = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} + m_2(v_{2i}-v_{1i}).
No lado esquerdo o m_2 v_{2f} cancela parcialmente:
(m_1 + m_2) v_{1f} = (m_1 + m_2)\,(\text{combinação do lado direito}).çã
Fazendo a conta com cuidado (mostrando os termos):
(m_1+m_2)v_{1f} = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} + m_2 v_{2i} - m_2 v_{1i} = (m_1 - m_2)v_{1i} + 2m_2 v_{2i}.
Portanto
v_{1f}=\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2}\,v_{2i}.
De forma análoga, multiplicando a segunda equação por m_1 e subtraindo da primeira (ou trocando índices), achamos
v_{2f}=\frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\,v_{2i}.
Essas fórmulas são as expressões padrão para velocidades finais numa colisão elástica unidimensional entre duas massas.]

Passo 6

Agora aplicamos os valores numéricos. Primeiro calculemos m_1+m_2:
m_1+m_2 = 0,400 + 0,200 = 0,600\\ \text{kg}.
Coeficientes para v_{1f}:
\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}=\frac{0,400-0,200}{0,600}=\frac{0,200}{0,600}=\frac{1}{3}\approx 0,333\ldots,
\frac{2m_2}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot 0,200}{0,600}=\frac{0,400}{0,600}=\frac{2}{3}\approx 0,666\ldots.
Então
v_{1f}=\frac{1}{3}\,v_{1i}+\frac{2}{3}\,v_{2i}.
Lembrando que escolhemos v_{1i}=+2,00\\ \mathrm{m/s} e v_{2i}=-4,00\\ \mathrm{m/s}, temos
v_{1f}=\frac{1}{3}\cdot 2,00 + \frac{2}{3}\cdot(-4,00).
Calcule passo a passo:
\frac{1}{3}\cdot 2,00 = \frac{2,00}{3} = 0,666\ldots,
\frac{2}{3}\cdot(-4,00) = -\frac{8,00}{3} = -2,666\ldots,
v_{1f} = 0,666\ldots - 2,666\ldots = -2,000\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora v_{2f}. Coeficientes:
\frac{2m_1}{m_1+m_2}=\frac{2\cdot 0,400}{0,600}=\frac{0,800}{0,600}=\frac{4}{3}\approx 1,333\ldots,
\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}=\frac{0,200-0,400}{0,600}=-\frac{0,200}{0,600}=-\frac{1}{3}\approx -0,333\ldots.
Então
v_{2f}=\frac{4}{3}\,v_{1i}-\frac{1}{3}\,v_{2i}.
Substituindo v_{1i}=2,00 e v_{2i}=-4,00:
v_{2f}=\frac{4}{3}\cdot 2,00 - \frac{1}{3}\cdot(-4,00).
Calcule passo a passo:
\frac{4}{3}\cdot 2,00 = \frac{8,00}{3} = 2,666\ldots,
-\frac{1}{3}\cdot(-4,00) = +\frac{4,00}{3} = 1,333\ldots,
v_{2f} = 2,666\ldots + 1,333\ldots = 4,000\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Verificação rápida (sossega a ansiedade): confirmar conservação do momento e da energia com os valores obtidos.
Momento inicial:
p_i = m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = 0,400\cdot 2,00 + 0,200\cdot(-4,00)=0,800 - 0,800 = 0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Momento final:
p_f = 0,400\cdot(-2,00) + 0,200\cdot 4,00 = -0,800 + 0,800 = 0\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Energia cinética inicial:
K_i = \tfrac{1}{2}0,400\cdot(2,00)^2 + \tfrac{1}{2}0,200\cdot(4,00)^2 = 0,2\cdot 4,00 + 0,1\cdot 16,00 = 0,80 + 1,60 = 2,40\\ \mathrm{J}.
Energia cinética final (como os quadrados das velocidades finais têm as mesmas magnitudes que as iniciais):
K_f = \tfrac{1}{2}0,400\cdot(-2,00)^2 + \tfrac{1}{2}0,200\cdot(4,00)^2 = 0,80 + 1,60 = 2,40\\ \mathrm{J}.
Conservação verificada — tudo consistente.

Resposta

v_{1f} = -2,00\\ \mathrm{m/s}
v_{2f} = 4,00\\ \mathrm{m/s}

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