Sobre um plano horizontal 2 pequenos discos que deslizavam, sem atrito, colidem frontalmente. No instante imediatamente anterior à colisão o disco com massa de 400 g tinha velocidade de
e o outro disco, de massa 200 g , tinha velocidade de
. Considerar a colisão perfeitamente elástica. Determinar as velocidades após a colisão.
Passo 1
Vamos organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda. Dados fornecidos:
O enunciado diz que os discos “colidem frontalmente”. Isso significa que eles se aproximam um do outro vindo em sentidos opostos. Para resolver de forma consistente precisamos escolher um eixo de referência (sinal das velocidades). Vou escolher o sentido positivo alinhado com o movimento do disco 1 imediatamente antes da colisão. Assim, como a colisão é frontal, a velocidade do disco 2 antes da colisão tem sinal oposto ao indicado no enunciado; portanto usaremos
O que se pede: determinar as velocidades finais
e
imediatamente após a colisão, sabendo que a colisão é perfeitamente elástica.
Passo 2
Princípio necessário 1 — conservação do momento linear (quantidade de movimento):
Em colisões isoladas (sem forças externas horizontais) o momento linear total se conserva. A fórmula para duas partículas é
Em colisões isoladas (sem forças externas horizontais) o momento linear total se conserva. A fórmula para duas partículas é
Aqui
e
são as massas (em kg),
são as velocidades antes da colisão e
são as velocidades após a colisão. Essa equação dá uma relação linear entre
e
.
Passo 3
Princípio necessário 2 — conservação da energia cinética (colisão perfeitamente elástica):
Numa colisão perfeitamente elástica a energia cinética total se conserva. A equação é
Numa colisão perfeitamente elástica a energia cinética total se conserva. A equação é
Podemos simplificar multiplicando tudo por 2:
Essa é uma equação quadrática nas velocidades finais, mas combinada com a conservação do momento ela permite resolver unicamente
e
.
Passo 4
Uma forma muito prática (e que costuma cair na prova) é usar a propriedade de colisões elásticas em uma dimensão: a velocidade relativa se inverte. Em símbolos:
Vou explicar por que essa relação vale: subtraindo a equação da conservação do momento multiplicada por algo apropriado da equação da energia, ou fazendo a álgebra entre as duas equações, chega-se a essa condição que diz que a velocidade relativa antes (velocidade do 1 em relação ao 2) tem mesma magnitude e sinal contrário depois da colisão. Essa relação é muito útil porque transforma o sistema (uma equação linear e outra quadrática) em duas equações lineares:
Vou usar essas duas equações para encontrar
e
.]
Passo 5
Resolver o sistema linearmente. Da segunda equação temos
Agora temos o sistema
Resolvendo esse sistema por eliminação: somamos uma combinação apropriada das equações para isolar
e
. Multiplicando a segunda equação por
e somando à primeira, obtemos
No lado esquerdo o
cancela parcialmente:
Fazendo a conta com cuidado (mostrando os termos):
Portanto
De forma análoga, multiplicando a segunda equação por
e subtraindo da primeira (ou trocando índices), achamos
Essas fórmulas são as expressões padrão para velocidades finais numa colisão elástica unidimensional entre duas massas.]
Passo 6
Agora aplicamos os valores numéricos. Primeiro calculemos
:
Coeficientes para
:
Então
Lembrando que escolhemos
e
, temos
Calcule passo a passo:
Passo 7
Agora
. Coeficientes:
Então
Substituindo
e
:
Calcule passo a passo:
Passo 8
Verificação rápida (sossega a ansiedade): confirmar conservação do momento e da energia com os valores obtidos.
Momento inicial:
Momento inicial:
Momento final:
Energia cinética inicial:
Energia cinética final (como os quadrados das velocidades finais têm as mesmas magnitudes que as iniciais):
Conservação verificada — tudo consistente.