Um condutor infinitamente longo está colocado ao longo da direção y e é percorrido por uma corrente de 15 mA orientada na direção \vec{a}_{y}. Determine o vetor campo magnético \vec{H} no ponto ( -2,3,4 ).
Valor: 2,5 pt

Passo 1

O enunciado diz que temos um condutor infinitamente longo no eixo y, percorrido por uma corrente de intensidade I=15\:\text{mA} no sentido de \vec a_{y}. Pede-se o vetor campo magnético \vec H no ponto (-2,3,4). Vamos usar a lei de Ampère ou, equivalentemente, o resultado do Biot–Savart para fio retilíneo infinito:
\vec H = \frac{I}{2\pi\,r}\,\vec a_{\varphi},
onde r é a distância do ponto ao eixo do fio (isto é, a projeção no plano xz) e \vec a_{\varphi} é o versor tangencial ao círculo de raio r no plano xz, dado pela regra da mão direita.

Passo 2

Calcular a distância r do ponto (-2,3,4) ao eixo y. Como o eixo do fio está em y, só importam as coordenadas x e z:
r = \sqrt{x^2 + z^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\approx 4{,}4721.

Passo 3

Obter a magnitude de \vec H:
H = \frac{I}{2\pi\,r} = \frac{0{,}015}{2\pi \cdot 2\sqrt{5}} \approx 5{,}34\times 10^{-4}\\ \text{A/m}.

Passo 4

Encontrar a direção \vec a_{\varphi} no plano xz. Definimos o ângulo \varphi por
\cos\varphi = \frac{x}{r} = \frac{-2}{2\sqrt5} = -\frac{1}{\sqrt5}, \quad \sin\varphi = \frac{z}{r} = \frac{4}{2\sqrt5} = \frac{2}{\sqrt5}.
No sistema cilíndrico em torno do eixo y, o versor tangencial é
\vec a_{\varphi} = -\sin\varphi\,\vec a_x \;+\;\cos\varphi\,\vec a_z = -\frac{2}{\sqrt5}\,\vec a_x \;-\;\frac{1}{\sqrt5}\,\vec a_z.

Passo 5

Multiplicando magnitude e direção:
\vec H = H\,\vec a_{\varphi} \approx 5{,}34\times10^{-4} \Bigl(-\tfrac{2}{\sqrt5}\,\vec a_x - \tfrac{1}{\sqrt5}\,\vec a_z\Bigr) \approx -4{,}77\times10^{-4}\,\vec a_x \;-\;2{,}38\times10^{-4}\,\vec a_z \quad(\text{A/m}).

Resposta

\boxed{ \vec H(-2,3,4) \approx -4{,}77\times10^{-4}\,\vec a_x \;-\;2{,}38\times10^{-4}\,\vec a_z \quad\text{(A/m)} }

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