Um seguimento de uma linha de cargas com \rho_{L}=-15 n C / m se localiza no eixo y, a partir da origem até y=+5,00 \mathrm{~m}. Determine \mathbf{E} no ponto (3,0 \mathrm{~m} ; 0 ; 0).
Valor: 2,5 pt

Passo 1

O enunciado descreve um segmento de carga linear uniforme, com densidade \rho_{L}=-15,nC/m, localizado ao longo do eixo y de y=0 até y=5{,}00,m. Pede-se o campo elétrico \mathbf{E} no ponto P=(3{,}0,0). Vamos usar a lei de Coulomb na forma integral para distribuição contínua de carga:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \int \frac{\rho_{L}\,d\ell\;(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\bigr|^{3}}.

Passo 2

Escolhemos um elemento de carga dq=\rho_{L}\,dy em \mathbf{r}'=(0,y,0) com 0\le y\le5. O ponto de prova é \mathbf{r}=(3,0,0), então
\mathbf{r}-\mathbf{r}' = (3,-y,0), \quad \bigl|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\bigr| = \sqrt{3^{2}+y^{2}} = \sqrt{9+y^{2}}.
Logo o elemento de campo é
d\mathbf{E} = k\,\rho_{L}\,\frac{(3,-y,0)\,dy}{(9+y^{2})^{3/2}}, \quad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.

Passo 3

Extraindo as componentes, temos
E_{x} = k\,\rho_{L} \int_{0}^{5}\frac{3\,dy}{(9+y^{2})^{3/2}}, \quad E_{y} = k\,\rho_{L} \int_{0}^{5}\frac{-\,y\,dy}{(9+y^{2})^{3/2}}, \quad E_{z}=0.

Passo 4

Para E_{x}, usamos
\int\frac{dy}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{y}{a^{2}\sqrt{a^{2}+y^{2}}} \quad(a=3),
então
E_{x} = k\,\rho_{L}\,3 \biggl[\frac{y}{9\sqrt{9+y^{2}}}\biggr]_{0}^{5} = k\,\rho_{L}\,\frac{1}{3}\,\frac{5}{\sqrt{34}}.

Passo 5

Para E_{y}, note que
\frac{d}{dy}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{9+y^{2}}}\Bigr) =-\frac{y}{(9+y^{2})^{3/2}},
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E_{y} = k\,\rho_{L} \Bigl[\frac{1}{\sqrt{9+y^{2}}}\Bigr]_{0}^{5} = k\,\rho_{L} \Bigl(\frac{1}{\sqrt{34}}-\frac{1}{3}\Bigr).

Passo 6

Substituindo k=8{,}99\times10^{9}, \rho_{L}=-15\times10^{-9},C/m:
E_{x} =8{,}99\times10^{9}\times(-15\times10^{-9})\times\frac{1}{3}\times\frac{5}{\sqrt{34}} \approx -38{,}6\;\mathrm{N/C},
E_{y} =8{,}99\times10^{9}\times(-15\times10^{-9}) \Bigl(\frac{1}{\sqrt{34}}-\frac{1}{3}\Bigr) \approx +21{,}8\;\mathrm{N/C}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(3,0,0) = -38{,}6\,\hat{\mathbf{x}} \;+\;21{,}8\,\hat{\mathbf{y}}\quad(\mathrm{N/C}).

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