A intensidade de campo magnético é dada em certa região do espaço como
\mathbf{H}=\left[\left(x^{2}+2 \cdot x \cdot y\right) / z^{2}\right] \mathbf{a}_{y}+(2 / z) \mathbf{a}_{z} \frac{A}{m} .
(a) Calcule \nabla \times \mathbf{H}.
(b) Calcule \mathbf{J}.
(c) Use \mathbf{J} para encontrar a corrente total que passa pela superfície z=4,1 \leq x \leq 2, 3 \leq y \leq 5, na direção \mathbf{a}_{z}.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético
\mathbf{H}=\frac{x^{2}+2xy}{z^{2}}\;\mathbf{a}_{y}+\frac{2}{z}\;\mathbf{a}_{z}
e pede:
(a) \nabla\times\mathbf{H},
(b) a densidade de corrente \mathbf{J} (usando \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} em magnetostática),
(c) a corrente total que atravessa a superfície no plano z=4 com 1\le x\le2, 3\le y\le5 na direção \mathbf{a}_{z}.

Passo 2

Para calcular \nabla\times\mathbf{H} identificamos as componentes
H_x=0,\quad H_y=\frac{x^{2}+2xy}{z^{2}},\quad H_z=\frac{2}{z}.
A fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\mathbf{H} =\Bigl(\pd{H_z}{y}-\pd{H_y}{z}\Bigr)\mathbf{a}_x +\Bigl(\pd{H_x}{z}-\pd{H_z}{x}\Bigr)\mathbf{a}_y +\Bigl(\pd{H_y}{x}-\pd{H_x}{y}\Bigr)\mathbf{a}_z.
Calculando cada derivada:
\pd{H_z}{y}=0,\quad \pd{H_y}{z}=-2\,\frac{x^{2}+2xy}{z^{3}},\quad \pd{H_x}{z}=0,\quad \pd{H_z}{x}=0,\quad \pd{H_y}{x}=\frac{2x+2y}{z^{2}}.
Logo
\nabla\times\mathbf{H} =\frac{2(x^{2}+2xy)}{z^{3}}\;\mathbf{a}_{x} +0\;\mathbf{a}_{y} +\frac{2(x+y)}{z^{2}}\;\mathbf{a}_{z}.

Passo 3

Em magnetostática desprezamos corrente de deslocamento e usamos
\mathbf{J}=\nabla\times\mathbf{H}.
Portanto
\mathbf{J} =\frac{2(x^{2}+2xy)}{z^{3}}\;\mathbf{a}_{x} +0\;\mathbf{a}_{y} +\frac{2(x+y)}{z^{2}}\;\mathbf{a}_{z}.

Passo 4

A corrente total que atravessa a superfície S em z=4 na direção \mathbf{a}_{z} é
I=\iint_{S}\mathbf{J}\cdot d\mathbf{S} =\iint_{S}J_{z}\,dx\,dy.
Em z=4 temos
J_{z}=\frac{2(x+y)}{4^{2}}=\frac{x+y}{8}.
Logo
I =\int_{x=1}^{2}\!\int_{y=3}^{5}\frac{x+y}{8}\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{3}^{5}(x+y)\,dy = x\,(5-3)+\frac{5^{2}-3^{2}}{2} =2x+8.
Então
I =\int_{1}^{2}\frac{2x+8}{8}\,dx =\int_{1}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{4}x+1\Bigr)\,dx =\Bigl[\tfrac{1}{8}x^{2}+x\Bigr]_{1}^{2} =1{,}375\;\text{A}.

Resposta

(a) \displaystyle\nabla\times\mathbf{H} =\frac{2(x^{2}+2xy)}{z^{3}}\;\mathbf{a}_{x} +\frac{2(x+y)}{z^{2}}\;\mathbf{a}_{z}.
(b) \displaystyle\mathbf{J} =\frac{2(x^{2}+2xy)}{z^{3}}\;\mathbf{a}_{x} +\frac{2(x+y)}{z^{2}}\;\mathbf{a}_{z}.
(c) I=1{,}375\;\text{A}.

Exercícios relacionados