Um condutor maciço esférico de raio R possui uma carga
e está em equilibrio eletrostático. Calcule o potencial elétrico na região
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera condutora maciça com raio $ R $ e carga total $ Q $, que está em equilíbrio eletrostático. Precisamos calcular o potencial elétrico $ V $ na região onde a distância do centro da esfera $ r $ é maior que $ R $ (ou seja, $ r > R $).
Nesse problema, vamos usar conceitos de Eletrostática, especialmente Campo Elétrico e Potencial Elétrico. Também precisaremos aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico fora da esfera e, em seguida, integrar esse campo para obter o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Campo Elétrico $ E $ na região $ r > R $. Como a esfera é condutora e está em equilíbrio eletrostático, a carga $ Q $ está distribuída uniformemente na superfície da esfera.
Para encontrar $ E $, usamos a Lei de Gauss, que nos diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro da superfície dividida pela permissividade elétrica do vácuo $ \varepsilon_0 $:
Como estamos considerando $ r > R $, a carga dentro da superfície gaussiana é $ Q $. A simetria esférica permite que o campo elétrico $ E $ seja radial e de mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana. Então, a integral se simplifica para:
Resolvendo para $ E $:
Passo 3
Agora que temos o campo elétrico $ E $ na região $ r > R $, podemos encontrar o Potencial Elétrico $ V $. O potencial elétrico é definido como o trabalho necessário para trazer uma carga de referência de um ponto onde o potencial é zero até o ponto considerado, sem acelerar a carga.
Matematicamente, podemos relacionar o campo elétrico ao potencial através da seguinte relação:
Para encontrar $ V® $, integramos $ E $ em relação a $ r $:
Substituindo $ E $ que encontramos:
Integrando:
Passo 4
Determinar a constante de integração $ C $ é importante para encontrar o potencial absoluto. Normalmente, escolhemos o potencial no infinito como zero, ou seja, $ V(\infty) = 0 $. Aplicando essa condição:
Portanto, o potencial elétrico na região $ r > R $ é:
Resposta
O potencial elétrico na região $ r > R $ é dado por: