Uma partícula A descreve uma trajetória circular no plano x y que é descrita pela equação \vec{r}_{A}(t)=R[\cos (\omega t) \hat{\imath}+\sin (\omega t) \hat{\jmath}], onde R e \omega>0 são constantes. Já a partícula B descreve uma trajetória igualmente circular, porém “acima” da trajetória de A, descrita pela equação \vec{r}_{B}(t)=h \hat{k}+R[\cos (\omega t) \hat{\imath}+\sin (\omega t) \hat{\jmath}], onde h também é constante. Ambas as partículas têm a mesma massa m. Observe que poderíamos encarar A e B como sendo a mesma partícula, porém observada de dois referenciais diferentes.
(a) Esboce as duas trajetórias no mesmo sistema de coordenadas x y z (aponte z para cima, com xy no plano horizontal). Em ambos os casos, indique o vetor posição de cada particula no instante t=0.
(b) Calcule \vec{\ell}_{A}(t), o vetor momento angular de A, e desenhe-o no instante t=0. Ele varia com o tempo?
(c) Calcule \vec{\ell}_{B}(t), o vetor momento angular de B, e desenhe-o no instante t=0. Ele varia com o tempo?
(d) Inspecione a resposta dos dois itens anteriores e responda: o que \vec{\ell}_{A} e \vec{\ell}_{B} têm em comum? E o que têm de diférente?
(e) Qual é a tangente do ângulo que \vec{\ell}_{B} faz com a vertical (eixo z)?

Passo 1

O enunciado dá duas trajetórias e pede várias coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido (sem resolver ainda).
Dados:
\vec{r}_{A}(t)=R\big(\cos(\omega t)\,\hat{\imath}+\sin(\omega t)\,\hat{\jmath}\big),
\vec{r}_{B}(t)=h\,\hat{k}+R\big(\cos(\omega t)\,\hat{\imath}+\sin(\omega t)\,\hat{\jmath}\big),
com R>0, \omega>0, h constantes e massas iguais m.
Perguntas:
(a) Esboçar as duas trajetórias no mesmo sistema xyz ( z para cima, xy horizontal) e indicar o vetor posição de cada partícula no instante t=0.
(b) Calcular \vec{\ell}_{A}(t) (momento angular de A), desenhá-lo em t=0 e dizer se varia com o tempo.
(c) Calcular \vec{\ell}_{B}(t), desenhá-lo em t=0 e dizer se varia com o tempo.
(d) Comparar \vec{\ell}_{A} e \vec{\ell}_{B}: o que têm em comum e o que é diferente.
(e) Determinar a tangente do ângulo que \vec{\ell}_{B} faz com a vertical ( z).

Passo 2

Primeiro, calculemos as posições no instante t=0 (isso responde a parte de indicar os vetores posição em t=0).
Substituindo t=0 em \vec{r}_{A}(t):
\vec{r}_{A}(0)=R\big(\cos(0)\,\hat{\imath}+\sin(0)\,\hat{\jmath}\big)=R\big(1\cdot\hat{\imath}+0\cdot\hat{\jmath}\big)=R\,\hat{\imath}.
Substituindo t=0 em \vec{r}_{B}(t):
\vec{r}_{B}(0)=h\,\hat{k}+R\big(\cos(0)\,\hat{\imath}+\sin(0)\,\hat{\jmath}\big)=h\,\hat{k}+R\,\hat{\imath}.
Interpretação geométrica (esboço verbal): as duas trajetórias são círculos de raio R no plano horizontal xy; a de A está no plano z=0 e a de B está paralela, no plano z=h. Em t=0, ambas estão no ponto de abscissa x=R (projeção no plano xy), e B está deslocada para cima em z=h.

Passo 3

Agora precisamos das velocidades para calcular momentos lineares e momentos angulares. Derivada de vetores: derivar componente a componente; \frac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t) e \frac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t).
Derivando \vec{r}_{A}(t):
\vec{v}_{A}(t)=\frac{d\vec{r}_A}{dt} = R\big(-\omega\sin(\omega t)\,\hat{\imath}+\omega\cos(\omega t)\,\hat{\jmath}\big)=\omega R\big(-\sin(\omega t)\,\hat{\imath}+\cos(\omega t)\,\hat{\jmath}\big).
Como h é constante, \vec{v}_{B}(t)=\dfrac{d\vec{r}_B}{dt}=\dfrac{d}{dt}\big(h\hat{k}\big)+\dfrac{d}{dt}\big(R(\cos\cdots)\hat{\imath}+R(\sin\cdots)\hat{\jmath}\big). Logo:
\vec{v}_{B}(t)=\vec{v}_{A}(t).
Então ambas têm a mesma velocidade vetorial em cada instante; só a posição de B tem componente z adicional constante.

Passo 4

Fórmula do momento angular para uma partícula em relação à origem: \vec{\ell}= \vec{r}\times\vec{p} com \vec{p}=m\vec{v}. Explico a operação cruz (produto vetorial) de forma simples:
  • Produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} tem direção perpendicular ao plano formado por \vec{a} e \vec{b}, sentido dado pela regra da mão direita.
  • Componente z do produto cruz em termos de componentes no plano xy é (a_x b_y - a_y b_x).
  • Magnitude: |\vec{a}\times\vec{b}| = |a||b|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
Vamos aplicar isso.

Passo 5

Calcule \vec{\ell}_{A}(t)=m\,\vec{r}_{A}(t)\times\vec{v}_{A}(t).
Escrevendo componentes:
\vec{r}_A(t)=R\big(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}\big),
\vec{v}_A(t)=\omega R\big(-\sin\omega t\,\hat{\imath}+\cos\omega t\,\hat{\jmath}\big).
A componente z do produto \vec{r}_A\times\vec{v}_A vale
(r_{Ax}v_{Ay}-r_{Ay}v_{Ax}) =R\cos\omega t\cdot(\omega R\cos\omega t)-R\sin\omega t\cdot(\omega R(-\sin\omega t)).
Isso é
\omega R^2(\cos^2\omega t+\sin^2\omega t)=\omega R^2.
Como r e v têm somente componentes em x,y, o produto cruz não tem componentes x ou y (o resultado está ao longo de \hat{k}). Logo
\vec{\ell}_{A}(t)=m\,\omega R^2\,\hat{k}.
Observações didáticas: a identidade \cos^2+\sin^2=1 foi usada; como resultado não depende de t, \vec{\ell}_A é constante no tempo — é um vetor vertical para cima de módulo m\omega R^2.
Em t=0, \vec{\ell}_A(0)=m\omega R^2\,\hat{k}: é uma seta apontando para cima sobre a origem.

Passo 6

Agora \vec{\ell}_{B}(t)=m\,\vec{r}_{B}(t)\times\vec{v}_{B}(t). Use decomposição \vec{r}_B=\vec{r}_{\perp}+h\hat{k}, onde \vec{r}_{\perp}=R(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}) (a projeção no plano xy).
Então
\vec{r}_B\times\vec{v}_B = (\vec{r}_{\perp}+h\hat{k})\times\vec{v}_A = \vec{r}_{\perp}\times\vec{v}_A + h\,\hat{k}\times\vec{v}_A.
Já calculamos \vec{r}_{\perp}\times\vec{v}_A=\omega R^2\hat{k}. Resta calcular \hat{k}\times\vec{v}_A. Com \vec{v}_A=\omega R(-\sin\omega t\,\hat{\imath}+\cos\omega t\,\hat{\jmath}),
\hat{k}\times\vec{v}_A=\omega R\big(\hat{k}\times(-\sin\omega t\,\hat{\imath})+\hat{k}\times(\cos\omega t\,\hat{\jmath})\big).
Usando \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath} e \hat{k}\times\hat{\jmath}=-\hat{\imath}, obtemos
\hat{k}\times\vec{v}_A=\omega R\big(-\sin\omega t\,\hat{\jmath}+\cos\omega t\,(-\hat{\imath})\big) =-\omega R\big(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}\big).
Note que o vetor entre parênteses é exatamente \dfrac{\vec{r}_{\perp}}{R}. Portanto
\hat{k}\times\vec{v}_A = -\omega\,\vec{r}_{\perp}.
Voltando a \vec{\ell}_B:
\vec{\ell}_B(t)=m\big(\omega R^2\hat{k} + h(\hat{k}\times\vec{v}_A)\big) = m\omega R^2\hat{k} + m h(-\omega \vec{r}_{\perp}).
Assim
\boxed{\vec{\ell}_B(t)=m\omega R^2\,\hat{k} - m h\omega\,\vec{r}_{\perp}(t).}
Substituindo \vec{r}_{\perp}(t)=R(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}),
\vec{\ell}_B(t)=m\omega R^2\,\hat{k} - m h\omega R\big(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}\big).
Interpretação: \vec{\ell}_B tem uma componente vertical constante m\omega R^2 (igual à de A) e uma componente horizontal de módulo m h\omega R que gira no tempo (porque depende de \cos\omega t,\sin\omega t). Então o vetor \vec{\ell}_B tem módulo constante (pois vertical e horizontal são perpendiculares e ambos têm módulo constantes) mas sua direção varia: ele descreve uma rotação (précessão) em torno do eixo z, mantendo sempre o mesmo ângulo com a vertical.
Em t=0:
\vec{\ell}_B(0)=m\omega R^2\,\hat{k} - m h\omega R\,\hat{\imath}.
Isso é uma seta inclinada, com componente negativa em x e componente positiva em z.

Passo 7

Comparações (resumo claro para o item (d)):
  • Em comum:
    • Ambos têm a mesma componente vertical: \ell_{A,z}=\ell_{B,z}=m\omega R^2.
    • Ambos têm módulo constante no tempo (caso de A trivial; para B, o módulo é constante porque a componente horizontal tem módulo fixo enquanto a vertical também é fixa).
  • Diferenças:
    • \vec{\ell}_A é puramente vertical e fixo no espaço: \vec{\ell}_A=m\omega R^2\,\hat{k} (não muda de direção nem de módulo).
    • \vec{\ell}_B tem uma componente horizontal não nula que gira no tempo: \vec{\ell}_B(t)=m\omega R^2\,\hat{k}-m h\omega R(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}). Assim \vec{\ell}_B muda de direção (précessiona) mas mantém o mesmo ângulo com z e o mesmo módulo.

Passo 8

Agora a tangente do ângulo entre \vec{\ell}_B e a vertical (parte (e)). Seja \theta esse ângulo medido a partir do eixo z. Então
\tan\theta=\frac{\text{módulo da componente horizontal de }\vec{\ell}_B}{\text{componente vertical de }\vec{\ell}_B}.ó
A componente horizontal tem módulo m h\omega R e a componente vertical é m\omega R^2. Portanto
\tan\theta=\frac{m h\omega R}{m\omega R^2}=\frac{h}{R}.
Assim a tangente do ângulo é \dfrac{h}{R}, independente do tempo (isto confirma que o ângulo é constante mesmo que a direção de \vec{\ell}_B gire).

Resposta

(a) Trajetórias: círculos de raio R no plano xy; A em z=0, B em z=h. Vetores posição em t=0: \vec{r}_{A}(0)=R\,\hat{\imath}, \vec{r}_{B}(0)=R\,\hat{\imath}+h\,\hat{k}.
(b) \vec{\ell}_{A}(t)=m\omega R^{2}\,\hat{k}. Em t=0: \vec{\ell}_{A}(0)=m\omega R^{2}\,\hat{k}. Não varia com o tempo.
(c) \vec{\ell}_{B}(t)=m\omega R^{2}\,\hat{k}-m h\omega R\big(\cos\omega t\,\hat{\imath}+\sin\omega t\,\hat{\jmath}\big). Em t=0: \vec{\ell}_{B}(0)=m\omega R^{2}\,\hat{k}-m h\omega R\,\hat{\imath}. Sua magnitude é constante, mas sua direção varia (précessiona) no tempo.
(d) Em comum: mesma componente vertical m\omega R^{2} e módulos constantes. Diferente: \vec{\ell}_{A} é puramente vertical e fixo; \vec{\ell}_{B} tem componente horizontal não nula que gira no tempo (logo \vec{\ell}_{B} muda de direção).
(e) \displaystyle \tan\theta=\frac{h}{R}.

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