Uma partícula
descreve uma trajetória circular no plano
que é descrita pela equação
, onde
e
são constantes. Já a partícula
descreve uma trajetória igualmente circular, porém “acima” da trajetória de
, descrita pela equação
, onde
também é constante. Ambas as partículas têm a mesma massa
. Observe que poderíamos encarar
e
como sendo a mesma partícula, porém observada de dois referenciais diferentes.
(a) Esboce as duas trajetórias no mesmo sistema de coordenadas
(aponte
para cima, com xy no plano horizontal). Em ambos os casos, indique o vetor posição de cada particula no instante
.
(b) Calcule
, o vetor momento angular de
, e desenhe-o no instante
. Ele varia com o tempo?
(c) Calcule
, o vetor momento angular de
, e desenhe-o no instante
. Ele varia com o tempo?
(d) Inspecione a resposta dos dois itens anteriores e responda: o que
e
têm em comum? E o que têm de diférente?
(e) Qual é a tangente do ângulo que
faz com a vertical (eixo z)?
(a) Esboce as duas trajetórias no mesmo sistema de coordenadas
(b) Calcule
(c) Calcule
(d) Inspecione a resposta dos dois itens anteriores e responda: o que
(e) Qual é a tangente do ângulo que
Passo 1
O enunciado dá duas trajetórias e pede várias coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido (sem resolver ainda).
Dados:
com
,
,
constantes e massas iguais
.
Perguntas:
(a) Esboçar as duas trajetórias no mesmo sistema (
para cima,
horizontal) e indicar o vetor posição de cada partícula no instante
.
(b) Calcular (momento angular de
), desenhá-lo em
e dizer se varia com o tempo.
(c) Calcular , desenhá-lo em
e dizer se varia com o tempo.
(d) Comparar e
: o que têm em comum e o que é diferente.
(e) Determinar a tangente do ângulo que faz com a vertical (
).
(a) Esboçar as duas trajetórias no mesmo sistema
(b) Calcular
(c) Calcular
(d) Comparar
(e) Determinar a tangente do ângulo que
Passo 2
Primeiro, calculemos as posições no instante
(isso responde a parte de indicar os vetores posição em
).
Substituindo
em
:
Substituindo
em
:
Interpretação geométrica (esboço verbal): as duas trajetórias são círculos de raio
no plano horizontal
; a de
está no plano
e a de
está paralela, no plano
. Em
, ambas estão no ponto de abscissa
(projeção no plano
), e
está deslocada para cima em
.
Passo 3
Agora precisamos das velocidades para calcular momentos lineares e momentos angulares. Derivada de vetores: derivar componente a componente;
e
.
Derivando
:
Como
é constante,
. Logo:
Então ambas têm a mesma velocidade vetorial em cada instante; só a posição de
tem componente
adicional constante.
Passo 4
Fórmula do momento angular para uma partícula em relação à origem:
com
. Explico a operação cruz (produto vetorial) de forma simples:
- Produto vetorial
tem direção perpendicular ao plano formado por e , sentido dado pela regra da mão direita. - Componente
do produto cruz em termos de componentes no plano é . - Magnitude:
, onde é o ângulo entre e .
Vamos aplicar isso.
Passo 5
Calcule
.
Escrevendo componentes:
A componente
do produto
vale
Isso é
Como
e
têm somente componentes em
, o produto cruz não tem componentes
ou
(o resultado está ao longo de
). Logo
Observações didáticas: a identidade
foi usada; como resultado não depende de
,
é constante no tempo — é um vetor vertical para cima de módulo
.
Em
,
: é uma seta apontando para cima sobre a origem.
Passo 6
Agora
. Use decomposição
, onde
(a projeção no plano
).
Então
Já calculamos
. Resta calcular
. Com
,
Usando
e
, obtemos
Note que o vetor entre parênteses é exatamente
. Portanto
Voltando a
:
Assim
Substituindo
,
Interpretação:
tem uma componente vertical constante
(igual à de
) e uma componente horizontal de módulo
que gira no tempo (porque depende de
). Então o vetor
tem módulo constante (pois vertical e horizontal são perpendiculares e ambos têm módulo constantes) mas sua direção varia: ele descreve uma rotação (précessão) em torno do eixo
, mantendo sempre o mesmo ângulo com a vertical.
Em
:
Isso é uma seta inclinada, com componente negativa em
e componente positiva em
.
Passo 7
Comparações (resumo claro para o item (d)):
-
Em comum:
- Ambos têm a mesma componente vertical:
. - Ambos têm módulo constante no tempo (caso de
trivial; para , o módulo é constante porque a componente horizontal tem módulo fixo enquanto a vertical também é fixa).
- Ambos têm a mesma componente vertical:
-
Diferenças:
-
é puramente vertical e fixo no espaço: (não muda de direção nem de módulo). -
tem uma componente horizontal não nula que gira no tempo: . Assim muda de direção (précessiona) mas mantém o mesmo ângulo com e o mesmo módulo.
-
Passo 8
Agora a tangente do ângulo entre
e a vertical (parte (e)). Seja
esse ângulo medido a partir do eixo
. Então
A componente horizontal tem módulo
e a componente vertical é
. Portanto
Assim a tangente do ângulo é
, independente do tempo (isto confirma que o ângulo é constante mesmo que a direção de
gire).
Resposta
(a) Trajetórias: círculos de raio
no plano
;
em
,
em
. Vetores posição em
:
,
.
(b)
. Em
:
. Não varia com o tempo.
(c)
. Em
:
. Sua magnitude é constante, mas sua direção varia (précessiona) no tempo.
(d) Em comum: mesma componente vertical
e módulos constantes. Diferente:
é puramente vertical e fixo;
tem componente horizontal não nula que gira no tempo (logo
muda de direção).
(e)
.