Um condutor sólido infinitamente longo, de raio a, está colocado ao longo do eixo z. Se o condutor for percorrido por uma corrente I no sentido de
, demonstre que;
dentro do condutor. Determine a densidade de corrente correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar um condutor sólido, com raio $ a $, que é infinitamente longo e está alinhado no eixo $ z $. Esse condutor está carregando uma corrente $ I $ na direção $ +z $. Queremos demonstrar que o campo magnético $ \mathbf{H} $ dentro do condutor é dado por:
Além disso, precisamos encontrar a densidade de corrente correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de Magnetostática, especificamente a Lei de Ampère, e entender como calcular a densidade de corrente em um condutor com essas características.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente que passa pelo interior desse caminho. A fórmula é:
onde $ I_{enc} $ é a corrente total que passa através do caminho fechado.
Passo 3
Como o condutor é infinitamente longo e tem simetria circular, podemos escolher um caminho de Ampère que seja um círculo coaxial com o condutor, com raio $ \rho $ menor que $ a $. Nesse caso, o campo magnético $ \mathbf{H} $ terá apenas componente na direção $ \phi $ (circumferencial).
Passo 4
Calculando a integral de linha:
Isso porque $ \mathbf{H} $ é constante ao longo do caminho e o comprimento do caminho é $ 2 \pi \rho $.
Passo 5
Igualando à corrente encerrada $ I_{enc} $, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar $ I_{enc} $. Supondo que a corrente esteja distribuída uniformemente no condutor, a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é constante e aponta na direção $ z $. A corrente total $ I $ está distribuída sobre a área da seção transversal $ \pi a^{2} $.
Então, a densidade de corrente é:
Passo 7
A corrente encerrada $ I_{enc} $ em um círculo de raio $ \rho $ é a densidade de corrente multiplicada pela área desse círculo:
Passo 8
Substituindo $ I_{enc} $ na equação da Lei de Ampère:
Passo 9
Resolvendo para $ H_{\phi} $:
Portanto:
Passo 10
Para encontrar a densidade de corrente $ \mathbf{J} $, já vimos que:
Resposta
A densidade de corrente correspondente é: