Um condutor sólido de seção reta circular, com raio de 5 mm , tem uma condutividade que varia com o raio. O condutor tem 20 metros de comprimento e existe uma diferença de potencial contínua de 0,1 \mathrm{~V} entre suas duas extremidades. Dentro desse condutor, \mathbf{H}= 10^{5} \rho^{2} \mathbf{a}_{\mathrm{o}} \mathrm{A} / \mathrm{m}. (a) Calcule \sigma como uma função de \rho. (b) Qual é o valor da resistência entre as duas extremidades?

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico de raio a=5,mm e comprimento L=20,m, com diferença de potencial contínua V=0{,}1,V ao longo de L. Dentro do condutor a intensidade de campo magnético é
\mathbf{H}=10^{5}\,\rho^{2}\,\mathbf{a}_{\varphi}\quad\bigl(\mathrm{A/m}\bigr),
e precisamos achar
(a) a condutividade \sigma(\rho),
(b) a resistência total R.
Para isso usaremos a Lei de Ampère no regime estacionário \nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J} e a Lei de Ohm local \mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}, lembrando que o campo elétrico ao longo do fio é uniforme:
E_{z}=\frac{V}{L}.

Passo 2

Aplicamos a forma cilíndrica de \nabla\times\mathbf{H}. Como \mathbf{H}=H_{\varphi}(\rho)\,\mathbf{a}_{\varphi}, tem-se apenas corrente axial J_{z}, dada por
J_{z}(\rho) =\bigl(\nabla\times\mathbf{H}\bigr)\!\cdot\!\mathbf{a}_{z} =\frac{1}{\rho}\,\frac{d}{d\rho}\!\bigl(\rho\,H_{\varphi}(\rho)\bigr).
Substituindo H_{\varphi}=10^{5}\rho^{2}, vem
J_{z}(\rho) =\frac{1}{\rho}\,\frac{d}{d\rho}\bigl(10^{5}\rho^{3}\bigr) =\frac{1}{\rho}\,3\times10^{5}\rho^{2} =3\times10^{5}\,\rho\quad(\mathrm{A/m^{2}}).

Passo 3

Pela Lei de Ohm local, \mathbf{J}=\sigma\,\mathbf{E}, temos
J_{z}(\rho)=\sigma(\rho)\,E_{z}, \quad E_{z}=\frac{V}{L}=\frac{0{,}1}{20}=5\times10^{-3}\,\mathrm{V/m}.
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\sigma(\rho) =\frac{J_{z}(\rho)}{E_{z}} =\frac{3\times10^{5}\,\rho}{5\times10^{-3}} =6\times10^{7}\,\rho\quad(\mathrm{S/m}).

Passo 4

Para achar a resistência, primeiro calculamos a corrente total
I =\iint_{\text{secção}}J_{z}(\rho)\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{a}3\times10^{5}\,\rho\;\rho\,d\rho\,d\varphi =2\pi\cdot3\times10^{5}\int_{0}^{a}\rho^{2}d\rho =2\pi\times10^{5}\,a^{3}.çã
Substituindo a=5\times10^{-3},m, tem
I =2\pi\times10^{5}\,(5\times10^{-3})^{3} =2\pi\times10^{5}\times125\times10^{-9} =2{,}5\times10^{-2}\,\pi \approx7{,}85\times10^{-2}\,\mathrm{A}.

Passo 5

A resistência total é
R=\frac{V}{I} =\frac{0{,}1}{2{,}5\times10^{-2}\,\pi} =\frac{4}{\pi} \approx1{,}27\\ \Omega.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma(\rho)=6\times10^{7}\,\rho\\ \mathrm{S/m}.
(b) \displaystyle R=\frac{4}{\pi}\approx1{,}27\\ \Omega.

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