Questão 1. (Valor: 2,0) Encontre a Transformada de Laplace Inversa, \mathcal{L}\{f(t)\}^{-1} da funçao algébrica dada:
F(s)=\frac{2 s+1}{s^{2}-2 s+2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=\frac{2s+1}{s^{2}-2s+2}.
O conteúdo envolve manipular a expressão de F(s) para reconhecer padrões das transformadas conhecidas e usar tabelas de \mathcal{L}^{-1}.

Passo 2

Precisamos completar o quadrado no denominador:
s^{2}-2s+2 = (s-1)^{2}+1.

Passo 3

Agora vamos escrever o numerador 2s+1 na forma A(s-1)+B.
Assumimos
2s+1 = A(s-1)+B = As - A + B,
logo comparando coeficientes de s e termos independentes, vemos que
A=2, \quad -\,A + B = 1 \;\Longrightarrow\; -2 + B = 1 \;\Longrightarrow\; B=3.
Portanto
F(s) = \frac{2(s-1)+3}{(s-1)^{2}+1} = 2\,\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1} + 3\,\frac{1}{(s-1)^{2}+1}.

Passo 4

Usamos as fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\Bigr\}(t) = e^{at}\cos(bt), \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}}\Bigr\}(t) = e^{at}\sin(bt).
Aqui a=1 e b=1. Então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) = 2\,e^{t}\cos(t) + 3\,e^{t}\sin(t).

Resposta

f(t)=2\,e^{t}\cos(t) + 3\,e^{t}\sin(t).

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