Considere o seguinte problema de valor inicial :
Deseja-se aproximar o valor de
utilizando métodos numéricos com passo
.
(a) Aproxime o valor de
usando o método de Euler com passo
.
(b) Aproxime o valor de
usando o método de Runge-Kutta com o mesmo passo.
(c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores com a solução exata da equação diferencial.
Todos os itens tem a mesma pontuação.
(a) Aproxime o valor de
(b) Aproxime o valor de
(c) Compare os resultados obtidos nos itens anteriores com a solução exata da equação diferencial.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede três coisas com passo
:
– (a) aproximar pelo método de Euler explícito, cujo esquema é
– (a) aproximar
com
;
– (b) aproximar pelo método de Runge–Kutta de ordem 4 (RK4), cujo esquema é
– (b) aproximar
– (c) comparar com a solução exata, que é da forma
.
Passo 2
Aplicando o método de Euler em dois passos
:
para :
para
para
,
:
Logo, pela Euler,
Passo 3
Aplicando RK4 em dois passos:
Para
:
Para
,
:
Logo, pelo RK4,
Passo 4
Para achar a solução exata resolvemos
com fator integrante
. Integramos
e obtemos
Como
dá
. Então
e em
:
Comparando: Euler deu
(erro
), RK4 deu
(erro
).
Resposta
(a)
pelo método de Euler.
(b) pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem.
(c) Solução exata ; RK4 é muito mais preciso que Euler.
(b)
(c) Solução exata