Conduza uma reta, que encontra uma reta dada
, seja paralela a um plano
e passe por um ponto
dado fora do plano e da reta dada. Discuta.
Passo 1
Vamos chamar de
a reta dada e de
o plano dado. Seja
o ponto por onde a nova reta deve passar, com
e
.
Escolhemos um ponto fixo e escrevemos:
Escolhemos um ponto fixo
onde
é o vetor diretor de
. Seja
um vetor normal a
.
Procuramos uma reta de forma
Procuramos uma reta
tal que
-
intersecta , isto é, existam com
-
, isto é, .
Passo 2
Da condição de intersecção tiramos
Como apenas a direção
importa, basta achar
de modo que
seja ortogonal a
. Logo exigimos
Passo 3
Desenvolvendo a equação
temos dois casos:
Caso A:
A reta não é paralela ao plano
. Então
A reta
é único. Definindo
a reta
é
Ela intersecta
em
e satisfaz
, logo
.
Conclusão: existe uma única reta.
Conclusão: existe uma única reta.
Passo 4
Caso B:
A reta é paralela a
. Então a equação de ortogonalidade fica
A reta
- Se
, não há valor de que anule , pois . Logo não existe reta que atenda às condições. - Se
, então para qualquer temos
. Assim, para cada ponto
a reta
é paralela a
. Logo há infinitas retas.
Resposta
- Se
não é paralela ao plano , existe exatamente uma reta procurada. - Se
é paralela a e não está no plano paralelo a que passa por , não existe reta. - Se
é paralela a e está nesse plano paralelo, há infinitas retas.