Conduza uma reta, que encontra uma reta dada a, seja paralela a um plano alpha e passe por um ponto P dado fora do plano e da reta dada. Discuta.

Passo 1

Vamos chamar de a a reta dada e de alpha o plano dado. Seja P o ponto por onde a nova reta deve passar, com Pnotinalpha e Pnotin a.
Escolhemos um ponto fixo Qin a e escrevemos:
a:;X = Q + s, w, sin R,
onde w é o vetor diretor de a. Seja n um vetor normal a alpha.
Procuramos uma reta l de forma
l:;X = P + t, v, tin R,
tal que
  1. l intersecta a, isto é, existam s,t com
P + t, v = Q + s, w;
  1. lparal<=lalpha, isto é, vcdot n=0.

Passo 2

Da condição de intersecção tiramos
v = Q - P + s, wt
Como apenas a direção v importa, basta achar s de modo que v seja ortogonal a n. Logo exigimos
vcdot n=0 Longrightarrow (Q - P + s, w)cdot n = 0

Passo 3

Desenvolvendo a equação
(Q-P)cdot n + s,( wcdot n) = 0,
temos dois casos:
Caso A: wcdot nneq 0
A reta a não é paralela ao plano alpha. Então
s = -(Q - P)cdot n wcdot n
é único. Definindo
S = Q + s, w, v = S - P,
a reta l é
l:;X = P + t,(S-P)
Ela intersecta a em S e satisfaz (S-P)cdot n=0, logo lparal<=lalpha.
Conclusão: existe uma única reta.

Passo 4

Caso B: wcdot n=0
A reta a é paralela a alpha. Então a equação de ortogonalidade fica
(Q-P)cdot n = 0
  • Se (Q-P)cdot nneq 0, não há valor de s que anule (Q-P+s, w)cdot n, pois wcdot n=0. Logo não existe reta que atenda às condições.
  • Se (Q-P)cdot n=0, então para qualquer s temos
    (Q-P+s, w)cdot n=0. Assim, para cada ponto
S = Q + s, win a
a reta PS é paralela a alpha. Logo há infinitas retas.

Resposta

  • Se a não é paralela ao plano alpha, existe exatamente uma reta procurada.
  • Se a é paralela a alpha e P não está no plano paralelo a alpha que passa por a, não existe reta.
  • Se a é paralela a alpha e P está nesse plano paralelo, há infinitas retas.

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