Prove que, em todo tetraedro de arestas opostas ortogonais:
as somas dos quadrados das arestas opostas são iguais e a soma dos quadrados dos produtos das arestas opostas é igual a quatro vezes a soma dos quadrados das quatro faces;

Passo 1

Vamos trabalhar com vetores no espaço para aproveitar a condição de arestas opostas ortogonais, que fica muito natural em produto interno. Se chamarmos os vértices do tetraedro de A,B,C,D, colocamos A na origem e definimos
x=AB, y=AC, z=AD
As arestas opostas são então
CD=z-y, BD=z-x, BC=y-x,
e a ortogonalidade “arestas opostas” se traduz nas igualdades
xcdot(z-y)=0, ycdot(z-x)=0, zcdot(y-x)=0
Com isso, queremos provar duas coisas:
  1. ;|x|^2+|z-y|^2=|y|^2+|z-x|^2=|z|^2+|y-x|^2
  2. ;(ABcdot CD)^2+(ACcdot BD)^2+(ADcdot BC)^2=4sumfaces(área)^2á

Passo 2

Chamemos
S1=|x|^2+|z-y|^2, S2=|y|^2+|z-x|^2, S3=|z|^2+|y-x|^2
Para mostrar S1=S2, fazemos
S1-S2 =|x|^2-|y|^2+l(|z-y|^2-|z-x|^2r)
Note que
|z-y|^2-|z-x|^2 =(z-y)cdot(z-y)-(z-x)cdot(z-x) =2zcdot(x-y)-l(|x|^2-|y|^2r),
logo
S1-S2 =|x|^2-|y|^2+2zcdot(x-y)-l(|x|^2-|y|^2r) =2,zcdot(x-y)
Mas zcdot(y-x)=0 pela ortogonalidade de AD com BC, portanto zcdot(x-y)=0 e S1=S2.

Passo 3

De modo análogo, para S1=S3 calculamos
S1-S3 =|x|^2+|z-y|^2-l(|z|^2+|y-x|^2r) =2,ycdot(x-z),
e a ortogonalidade ycdot(z-x)=0 S1=S3. Concluímos
|x|^2+|z-y|^2 =|y|^2+|z-x|^2 =|z|^2+|y-x|^2

Passo 4

Pela ortogonalidade dos pares, nota-se que
xcdot(z-y)=0implies xcdot z=xcdot y, ycdot(z-x)=0implies ycdot z=ycdot x, zcdot(y-x)=0implies zcdot y=zcdot x
Assim todos os produtos internos entre x,y,z são iguais; chamemos esse valor comum de
k=xcdot y=xcdot z=ycdot z

Passo 5

Convém dar nomes às normas ao quadrado:
X=|x|^2, Y=|y|^2, Z=|z|^2
Então, usando xcdot(z-y)=0, encontramos por exemplo
|z-y|^2=Z-2k+Y,
e a soma comum fica
S=S1 =X+(Z-2k+Y) =X+Y+Z-2k

Passo 6

Agora examinemos a soma dos quadrados dos produtos das arestas opostas, que em vetores é
|x|^2,|z-y|^2;+;|y|^2,|z-x|^2;+;|z|^2,|y-x|^2
Substituindo |z-y|^2=Y+Z-2k, |z-x|^2=X+Z-2k, |y-x|^2=X+Y-2k, obtemos
X(Y+Z-2k)+Y(X+Z-2k)+Z(X+Y-2k) =2,(XY+XZ+YZ);-;2k,(X+Y+Z)

Passo 7

Por fim, calculemos 4 vezes a soma dos quadrados das quatro áreas de faces. Cada face é triângulo cujas arestas são pares entre x,y,z,y-x,z-x,z-y. Empregando
l|tfrac12utimes vr|^2=tfrac14l(|u|^2,|v|^2-(ucdot v)^2r)
e usando as igualdades xcdot y=xcdot z=ycdot z=k e análogos para (y-x)cdot(z-x), chega-se a
4sumfaces(área)^2 =2,(XY+XZ+YZ);-;2k,(X+Y+Z), á
que coincide exatamente com o valor obtido no Passo 6.

Resposta

  1. Em todo tetraedro com arestas opostas ortogonais vale
AB^2+CD^2 ;=;AC^2+BD^2 ;=;AD^2+BC^2
  1. A soma dos quadrados dos produtos das arestas opostas satisfaz
(ABcdot CD)^2+(ACcdot BD)^2+(ADcdot BC)^2 =4l(sumfaces(área da face)^2r) á

Exercícios relacionados