Prove que, em todo tetraedro de arestas opostas ortogonais:
as somas dos quadrados das arestas opostas são iguais e a soma dos quadrados dos produtos das arestas opostas é igual a quatro vezes a soma dos quadrados das quatro faces;
Passo 1
Vamos trabalhar com vetores no espaço para aproveitar a condição de arestas opostas ortogonais, que fica muito natural em produto interno. Se chamarmos os vértices do tetraedro de , colocamos na origem e definimos
As arestas opostas são então
CD=z-y, BD=z-x, BC=y-x,
e a ortogonalidade “arestas opostas” se traduz nas igualdades
Por fim, calculemos 4 vezes a soma dos quadrados das quatro áreas de faces. Cada face é triângulo cujas arestas são pares entre x,y,z,y-x,z-x,z-y. Empregando