Uma indústria produz três produtos: A, B e C, utilizando dois tipos de insumo, X e Y. Para a manufatura de cada quilo de A são utilizados 1 grama do insumo X e 2 gramas do insumo Y ; para cada quilo de grama de insumo X e 1 grama de insumo Y e, para cada quilo de grama de X e 4 gramas de Y. O preço de venda do quilo de cada um dos produtos A, B e C é R 2,00, \mathrm{R} $3,00 $ 5,00$, respectivamente.
Com a venda de toda a produção de A, B e C manufaturada com 1 quilo de X e 2 quilos de Y, essa indústria arrecadou R$2.500,00.
Determine quantos quilos de cada um dos produtos A, B e C foram vendidos.

Passo 1

O enunciado trata de alocar dois insumos (X e Y) para fabricar três produtos (A, B e C) e, em seguida, maximizar a receita obtida. Para cada quilo de produto usamos gramas dos insumos e conhecemos o preço de venda. Como temos quantidades fixas de insumos e um total de receita, isso gera um sistema linear de três equações com três incógnitas.

Passo 2

Definimos as variáveis
quantidade (em kg) de produzida
quantidade (em kg) de produzida
quantidade (em kg) de produzida
As restrições são:
– consumo de : cada kg de , ou consome g de , e há kg g disponível
– consumo de : consome g/kg, consome g/kg, consome g/kg, e há kg g disponível
– receita: rende R$ /kg, rende R$ /kg, rende R$ /kg, e a receita total foi R$

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos
(2A + B + 4C) - (A + B + C) = 2000 - 1000
A + 3C = 1000 Longrightarrow A = 1000 - 3C
Substituindo isso em A + B + C = 1000, vem
(1000 - 3C) + B + C = 1000 Longrightarrow B = 2C

Passo 4

Plugando A = 1000 - 3C e B = 2C em 2A + 3B + 5C = 2500, temos
2(1000 - 3C) + 3(2C) + 5C = 2500
2000 - 6C + 6C + 5C = 2500 Longrightarrow 5C = 500 Longrightarrow C = 100
Logo
B = 2C = 200, A = 1000 - 3C = 700

Resposta

A empresa vendeu
700 kg de A,
200 kg de B
e 100 kg de C.

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