Seja
um campo escalar de classe
tal que
. Nas hipóteses do teorema de Gauss, mostre que
Passo 1
O enunciado dá um campo escalar de classe
,
, satisfazendo
(isto é,
é harmônica). Queremos mostrar que, em uma região
com fronteira suave
, vale
Para isso vamos usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss) e a regra do produto para divergência.
Passo 2
Aplicamos o Teorema da Divergência ao campo vetorial
O teorema diz
Portanto
Passo 3
Agora calculamos a divergência usando a regra do produto:
Passo 4
Como
f é harmônica, temos
nabla^2 f=0 . Logo
Substituindo isso na igualdade do Teorema da Divergência, obtemos