Seja f: U subseteq R^3 R um campo escalar de classe C^2 tal que nabla^2 f=0. Nas hipóteses do teorema de Gauss, mostre que
integral duplaS=partial V(f nabla f) cdot n d S=integral triplaV|nabla f|^2 d x d y d z

Passo 1

O enunciado dá um campo escalar de classe C^2, f:UsubseteqR^3toR, satisfazendo nabla^2 f=0 (isto é, f é harmônica). Queremos mostrar que, em uma região V com fronteira suave S=partial V, vale
integral duplaS(f,nabla f)cdot n,dS = integral triplaV|nabla f|^2,dx,dy,dz
Para isso vamos usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss) e a regra do produto para divergência.

Passo 2

Aplicamos o Teorema da Divergência ao campo vetorial
F = f,nabla f
O teorema diz
integral duplaS Fcdot n,dS = integral triplaVnablacdot F,dV
Portanto
integral duplaS(f,nabla f)cdot n,dS = integral triplaVnablacdotl(f,nabla fr),dV

Passo 3

Agora calculamos a divergência usando a regra do produto:
nablacdotl(f,nabla fr) = nabla fcdotnabla f + f,underbracenablacdot(nabla f)=nabla^2 f = |nabla f|^2 + f,nabla^2 f

Passo 4

Como f é harmônica, temos nabla^2 f=0. Logo
nablacdotl(f,nabla fr) = |nabla f|^2
Substituindo isso na igualdade do Teorema da Divergência, obtemos
integral duplaS(f,nabla f)cdot n,dS = integral triplaV|nabla f|^2,dV

Resposta

integral duplaS=partial V(f nabla f)cdot n,dS = integral triplaV|nabla f|^2,dx,dy,dz

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