Um cone circular reto tem raio da base igual a 3 raiz2 m e a altura igual ao valor da diagonal de um cubo cuja área total é 144 m^2, então o volume, em metros cúbicos, desse cone é
a) 18 raiz3 pi.
b) 18 raiz2 pi.
c) 36 raiz2 pi.
d) 36 pi.
e) 18 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cone com raio da base igual a 3 raiz2 metros e a altura desse cone é a diagonal de um cubo cuja área total é 144, m^2. Nosso objetivo é encontrar o volume desse cone. Para isso, vamos precisar usar fórmulas da geometria relacionadas a cones e cubos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a altura do cone. Sabemos que a altura é a diagonal de um cubo. Mas para achar a diagonal, precisamos saber a aresta do cubo. A área total de um cubo é dada por 6 times aresta^2. Como a área total é 144, m^2, podemos montar a equação:
6a^2 = 144
Onde a é a aresta do cubo.

Passo 3

Resolvendo a equação para a:
a^2 = 1446 = 24 implies a = raiz24 = 2raiz6, m
Então, a aresta do cubo é 2raiz6 metros.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a diagonal do cubo. A fórmula da diagonal de um cubo em termos da aresta é:
d = a raiz3
Substituindo a = 2raiz6:
d = 2raiz6 times raiz3 = 2raiz18 = 2 times 3raiz2 = 6raiz2, m
Então, a altura do cone é 6raiz2 metros.

Passo 5

Com o raio r = 3raiz2 m e a altura h = 6raiz2 m, podemos calcular o volume do cone usando a fórmula:
V = 13 pi r^2 h
Vamos calcular r^2:
r^2 = (3raiz2)^2 = 9 times 2 = 18

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do volume:
V = 13 pi times 18 times 6raiz2 = 13 pi times 108raiz2 = 36raiz2 pi

Resposta

O volume do cone é 36 raiz2 pi, m^3. A alternativa correta é a letra c) 36 raiz2 pi.

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