Um cone cortado tem uma altura de 16 cm . As faces circulares do topo e da base têm raios de 2 mm e 0,1 \mathrm{~mm}, respectivamente. Se o material do qual este cone sólido é construído tiver uma condutividade de 2 \times 10^{6} \mathrm{~S} / \mathrm{m}, utilize algumas boas aproximações para determinar a resistência entre as duas faces circulares.

Passo 1

O enunciado descreve um tronco de cone (frustum) de altura 16\,\mathrm{cm}, com o raio da face maior valendo 2\,\mathrm{mm} e o da face menor valendo 0,1\,\mathrm{mm}. Queremos a resistência elétrica entre essas faces quando o material tem condutividade \sigma=2\times10^{6}\,\mathrm{S/m}. O conteúdo principal é a resistência de um condutor de seção variável: usaremos \rho=1/\sigma e a fórmula
R=\int_{0}^{h}\frac{\rho\,\mathrm{d}x}{A(x)},
onde A(x) é a área transversal em função da posição x.

Passo 2

Convertendo as unidades para o SI e calculando a resistividade:
h=16\,\mathrm{cm}=0,16\,\mathrm{m},\quad r_{1}=2\,\mathrm{mm}=0,002\,\mathrm{m},\quad r_{2}=0,1\,\mathrm{mm}=0,0001\,\mathrm{m},
\rho=\frac{1}{\sigma}=\frac{1}{2\times10^{6}}=5\times10^{-7}\,\Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 3

Parametrizamos o raio ao longo do eixo x (de x=0 na face de raio r_{1} até x=h na face de raio r_{2}) por semelhança de triângulos:
r(x)=r_{1}+\frac{r_{2}-r_{1}}{h}\,x.
A área transversal é
A(x)=\pi\bigl[r(x)\bigr]^{2}.

Passo 4

A resistência total é
R=\int_{0}^{h}\frac{\rho\,\mathrm{d}x}{\pi\bigl[r_{1}+\frac{r_{2}-r_{1}}{h}x\bigr]^{2}}.
Fazendo a integral, usa-se
\int_{0}^{h}\frac{\mathrm{d}x}{\bigl(r_{1}+kx\bigr)^{2}} =\frac{1}{k}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr),
com k=(r_{2}-r_{1})/h. Observando que
\frac{1}{k}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr) =\frac{h}{r_{2}-r_{1}}\cdot\frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1}r_{2}} =\frac{h}{r_{1}r_{2}},
obtém-se a forma simples
R=\frac{\rho\,h}{\pi\,r_{1}\,r_{2}}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
R =\frac{(5\times10^{-7}\,\Omega\cdot\mathrm{m})\,(0,16\,\mathrm{m})} {\pi\,(0,002\,\mathrm{m})\,(0,0001\,\mathrm{m})} =\frac{8\times10^{-8}}{\pi\times2\times10^{-7}} \approx0,127\,\Omega.

Resposta

A resistência entre as faces circulares vale aproximadamente 0,13\,\Omega.

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