Um cone é equivalente a um hemisfério de 25 cm de diâmetro. Determine a área lateral do cone, sabendo que as bases do cone e do hemisfério são coincidentes.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cone cuja base coincide com a base de um hemisfério de diâmetro de 25,cm, e que o volume do cone é igual ao volume desse hemisfério. Precisamos usar as fórmulas de volume de cone e de hemisfério para achar a altura do cone e daí calcular sua área lateral.

Passo 2

Primeiro, a base do hemisfério tem raio
R = 252 = 12,5 cm
Como as bases coincidem, o cone também tem raio r=R=12,5,cm.

Passo 3

Escrevemos as fórmulas de volume:
o volume do cone é
Vcone = 13pi r^2 h
e o volume do hemisfério é
Vhemi = 23pi R^3
Como r=R e Vcone=Vhemi, temos
13pi R^2,h = 23pi R^3

Passo 4

Cancelando tfrac13pi R^2 dos dois lados, vem
h = 2R = 2cdot12,5 = 25 cm
Logo, a altura do cone é h=25,cm.

Passo 5

A geratriz (slant height) do cone é
s = raizr^2 + h^2 = raizR^2 + (2R)^2 = Rraiz1+4 = Rraiz5 = 12,5raiz5 cm

Passo 6

A área lateral do cone é
Alat = pi r,s = pi ,R,(Rraiz5) = pi R^2raiz5
Substituindo R=12,5
Alat = pi ,(12,5)^2raiz5 = 156,25,piraiz5 cm^2

Resposta

Alat = 156,25,piraiz5 cm^2 (aprox. 1,097 cm^2).

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