Determine a altura de um cone reto inscrito em uma esfera de raio igual a 18 cm , sendo a área lateral do cone o dobro da área da base.

Passo 1

O enunciado pede a altura de um cone reto inscrito numa esfera de raio R=18,cm, sabendo que a área lateral do cone é o dobro da área da base.
Conteúdo: geometria de cones e esferas inscritas, fórmulas de área lateral e área da base de um cone, e relação pitagórica do cone (altura, raio da base e geratriz).

Passo 2

Vamos colocar o centro da esfera na origem e o polo “norte” em z=R. Então o vértice do cone está em (0,0,R) e a base está num plano z=z0 abaixo.
A altura do cone é
h = R - z0,
e o raio da base satisfaz a equação da esfera
r^2 + z0^2 = R^2

Passo 3

A área lateral do cone é
Slateral = pi,r,s,
sendo s a geratriz, e a área da base é
Sbase = pi,r^2
Como Slateral = 2,Sbase, temos
pi,r,s = 2,pi,r^2 Longrightarrow s = 2r

Passo 4

Pela relação pitagórica do cone,
s^2 = h^2 + r^2,
logo, substituindo s=2r,
(2r)^2 = h^2 + r^2 Longrightarrow 4r^2 = h^2 + r^2 Longrightarrow h^2 = 3,r^2 Longrightarrow h = raiz3,r

Passo 5

Da esfera inscrita temos ainda
r^2 + z0^2 = R^2,
e como z0 = R - h, substituímos r = tfrachraiz3 e z0=R-h:
l(tfrachraiz3r)^2 + (R - h)^2 = R^2

Passo 6

Desenvolvendo
[\frac{h^{2}}{3} + R^{2} - 2R,h + h^{2} = R^{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{h^{2}}{3} + h^{2} -2R,h = 0
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{4h^{2}}{3} -2R,h = 0
]
[\Longrightarrow\quad
2h\Bigl(\tfrac{2h}{3}-R\Bigr)=0
\quad\Longrightarrow\quad
h=0\ (descartado)\ ou\ h=\tfrac{3}{2}R.
]
Como R=18,cm,
[ h = \tfrac{3}{2}\times18 = 27\ cm. ]

Resposta

A altura do cone é 27,cm.

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