Determine a altura de um cone reto inscrito em uma esfera de raio igual a 18 cm , sendo a área lateral do cone o dobro da área da base.
Passo 1
O enunciado pede a altura de um cone reto inscrito numa esfera de raio
,cm, sabendo que a área lateral do cone é o dobro da área da base.
Conteúdo: geometria de cones e esferas inscritas, fórmulas de área lateral e área da base de um cone, e relação pitagórica do cone (altura, raio da base e geratriz).
Conteúdo: geometria de cones e esferas inscritas, fórmulas de área lateral e área da base de um cone, e relação pitagórica do cone (altura, raio da base e geratriz).
Passo 2
Vamos colocar o centro da esfera na origem e o polo “norte” em
. Então o vértice do cone está em
e a base está num plano
abaixo.
A altura do cone é
A altura do cone é
e o raio da base satisfaz a equação da esfera
Passo 3
A área lateral do cone é
sendo
a geratriz, e a área da base é
Como
, temos
Passo 4
Pela relação pitagórica do cone,
logo, substituindo
,
Passo 5
Da esfera inscrita temos ainda
e como
, substituímos
e
:
Passo 6
Desenvolvendo
[\frac{h^{2}}{3} + R^{2} - 2R,h + h^{2} = R^{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{h^{2}}{3} + h^{2} -2R,h = 0
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{4h^{2}}{3} -2R,h = 0
]
[\Longrightarrow\quad
2h\Bigl(\tfrac{2h}{3}-R\Bigr)=0
\quad\Longrightarrow\quad
h=0\ (descartado)\ ou\ h=\tfrac{3}{2}R.
]
Como ,cm,
[ h = \tfrac{3}{2}\times18 = 27\ cm. ]
[\frac{h^{2}}{3} + R^{2} - 2R,h + h^{2} = R^{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{h^{2}}{3} + h^{2} -2R,h = 0
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{4h^{2}}{3} -2R,h = 0
]
[\Longrightarrow\quad
2h\Bigl(\tfrac{2h}{3}-R\Bigr)=0
\quad\Longrightarrow\quad
h=0\ (descartado)\ ou\ h=\tfrac{3}{2}R.
]
Como
[ h = \tfrac{3}{2}\times18 = 27\ cm. ]
Resposta
A altura do cone é
,cm.