Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da:
medida
do volume da esfera.
medida
Passo 1
O enunciado pede o volume do cubo inscrito numa esfera, em função de
, o volume da esfera.
Conteúdo: geometria do cubo e da esfera, envolvendo a relação entre o raio da esfera e a diagonal do cubo.
Conteúdo: geometria do cubo e da esfera, envolvendo a relação entre o raio da esfera e a diagonal do cubo.
Passo 2
A esfera de raio
tem volume dado por
Logo, isolando
, temos
Passo 3
Para inscrever o cubo na esfera, cada vértice do cubo deve ficar sobre a esfera. Se
é a aresta do cubo, a diagonal do cubo é
e ela coincide com o diâmetro da esfera
. Assim,
O volume do cubo é
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos
Racionalizando o denominador, dá
Resposta
O volume do cubo inscrito é