Determine o volume de um cubo inscrito em uma esfera em função da:
medida V do volume da esfera.

Passo 1

O enunciado pede o volume do cubo inscrito numa esfera, em função de V, o volume da esfera.
Conteúdo: geometria do cubo e da esfera, envolvendo a relação entre o raio da esfera e a diagonal do cubo.

Passo 2

A esfera de raio R tem volume dado por
V = 43,pi,R^3
Logo, isolando R^3, temos
R^3 = 3V4pi

Passo 3

Para inscrever o cubo na esfera, cada vértice do cubo deve ficar sobre a esfera. Se s é a aresta do cubo, a diagonal do cubo é raiz3,s e ela coincide com o diâmetro da esfera 2R. Assim,
raiz3,s = 2R Longrightarrow s = 2Rraiz3
O volume do cubo é
s^3 = (2Rraiz3)^3 = 8,R^33raiz3

Passo 4

Substituindo R^3 = tfrac3V4pi em s^3, obtemos
Volrm cubo = 83raiz3;R^3 = 83raiz3;3V4pi = 2piraiz3;V
Racionalizando o denominador, dá
2piraiz3 = 2raiz33pi

Resposta

O volume do cubo inscrito é
boxed2raiz33pi;V

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