Uma esfera é equivalente a um cilindro reto cuja área total é igual a 42 pi cm^2. Sendo 3 cm o raio do cilindro, determine:
o raio da esfera;

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro reto com raio r=3,cm e área total igual a 42pi,cm ^2. A esfera é “equivalente” a esse cilindro, ou seja, elas têm volumes iguais. Para achar o raio da esfera, vamos:
1. usar a fórmula da área total do cilindro para encontrar sua altura h;
2. calcular o volume do cilindro;
3. igualar esse volume ao da esfera e resolver para o raio R da esfera.

Passo 2

A área total de um cilindro de raio r e altura h é dada por
Atot = 2pi r h ;+; 2pi r^2 = 2pi r,(h + r)
Substituindo r=3 e Atot=42pi, temos
2picdot 3,(h + 3) = 42pi

Passo 3

Simplificando a equação:
6pi,(h+3) = 42pi Longrightarrow h + 3 = 7 Longrightarrow h = 4 cm

Passo 4

O volume do cilindro é
Vcil = pi r^2 h = pi cdot 3^2 cdot 4 = 36pi cm^3
Como a esfera tem o mesmo volume, temos
Vesf = 43pi R^3 = 36pi

Passo 5

Isolando R^3:
43pi R^3 = 36pi Longrightarrow R^3 = 36pi cdot 34pi = 27 Longrightarrow R = raiz[3]27 = 3 cm

Resposta

O raio da esfera é 3 cm.

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