Quantas soluções inteiras e não negativas a inequação a seguir possui?
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \leq 15

Passo 1

O enunciado pede: determinar quantas soluções inteiras e não negativas existem para a inequação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \leq 15.
Informações dadas e o que se quer contar:
  • As variáveis são x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Cada x_{i} deve ser um número inteiro não negativo (ou seja, x_{i}\in\{0,1,2,\dots\}).
  • Queremos contar todas as quádruplas (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Transformação útil: sempre que temos uma soma de variáveis não negativas limitada por um número, podemos introduzir uma variável “folga” (ou variável de folga) para transformar a desigualdade em uma igualdade. Defina uma nova variável x_{5} por
x_{5}=15-(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}).
Então x_{5} é um inteiro não negativo e a desigualdade original é equivalente à igualdade
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=15,
com x_{i}\ge 0 inteiros para i=1,\dots,5. Há uma bijeção óbvia entre soluções da desigualdade original (quádruplas) e soluções dessa igualdade (quíntuplas): dado (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) com soma \le 15 associamos x_{5} como acima; dado (x_{1},\dots,x_{5}) com soma 15 tomamos a quádrupla descartando x_{5}.

Passo 3

Portanto a contagem que queremos é o número de soluções inteiras não negativas da igualdade
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=15.
Agora vamos contar soluções dessa igualdade. Esse é um problema clássico: distribuir 15 unidades idênticas (por exemplo, 15 “estrelas”) entre 5 caixas (as variáveis x_{1},\dots,x_{5}), permitindo que uma caixa receba zero unidades.

Passo 4

Apresentação do método “estrelas e barras” (stars and bars), com explicação intuitiva:
  • Imagine representar as 15 unidades por 15 símbolos iguais (estrelas): \ast\ast\ast\cdots\ast (quinze vezes).
  • Para separar as 5 caixas (variáveis), colocamos 4 barras entre essas estrelas (ou possivelmente nas extremidades). Cada arranjo de 15 estrelas e 4 barras (numa fila) corresponde unicamente a uma quíntupla (x_{1},\dots,x_{5}): o número de estrelas antes da primeira barra é x_{1}, entre primeira e segunda barra é x_{2}, etc., e depois da quarta barra é x_{5}.
  • No total temos 15 estrelas + 4 barras = 19 posições. Escolher um arranjo equivale a escolher quais 4 dessas 19 posições serão ocupadas pelas barras (ou, equivalentemente, escolher as posições das estrelas).
  • Logo o número de arranjos distintos é o número de maneiras de escolher 4 posições entre 19, isto é:
\binom{19}{4}.
Em geral, o número de soluções não negativas de x_{1}+\dots+x_{k}=n é \displaystyle \binom{n+k-1}{k-1}. Aqui n=15 e k=5, dando \binom{15+5-1}{5-1}=\binom{19}{4}.

Passo 5

Agora calcular numericamente \displaystyle \binom{19}{4}. Pela definição de coeficiente binomial:
\binom{19}{4}=\frac{19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}{4!}.
Explico cada parte: o numerador é o produto dos 4 inteiros decrescentes começando em 19, e 4! (fatorial de 4) é 4\cdot3\cdot2\cdot1, que corrige a ordem das escolhas.

Passo 6

Efetue as contas passo a passo:
19\cdot 18=342,
342\cdot 17=5814,
5814\cdot 16=93024.
E
4!=24.
Portanto
\binom{19}{4}=\frac{93024}{24}.
Fazendo a divisão:
\frac{93024}{24}=3876.
(Verificação rápida: 24\cdot 3876 = 93024.)

Passo 7

Para fixar a intuição, um exemplo pequeno: se tivéssemos x_{1}+x_{2}\le 2, introduzindo x_{3} com x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 contamos \binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6 soluções, que são exatamente as quíntuplas de estrelas/barras correspondentes e, ao descartar x_{3}, as 3 pares possíveis (x_{1},x_{2}) com soma \le 2 são corretamente obtidas — isso confirma o procedimento na prática. Pode confiar: o mesmo raciocínio escala para 15 e 5 variáveis.

Resposta

3876

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