Quantas soluções inteiras e não negativas a inequação a seguir possui?
Passo 1
O enunciado pede: determinar quantas soluções inteiras e não negativas existem para a inequação
Informações dadas e o que se quer contar:
- As variáveis são
. - Cada
deve ser um número inteiro não negativo (ou seja, ). - Queremos contar todas as quádruplas
que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Transformação útil: sempre que temos uma soma de variáveis não negativas limitada por um número, podemos introduzir uma variável “folga” (ou variável de folga) para transformar a desigualdade em uma igualdade. Defina uma nova variável
por
Então
é um inteiro não negativo e a desigualdade original é equivalente à igualdade
com
inteiros para
. Há uma bijeção óbvia entre soluções da desigualdade original (quádruplas) e soluções dessa igualdade (quíntuplas): dado
com soma
associamos
como acima; dado
com soma
tomamos a quádrupla descartando
.
Passo 3
Portanto a contagem que queremos é o número de soluções inteiras não negativas da igualdade
Agora vamos contar soluções dessa igualdade. Esse é um problema clássico: distribuir
unidades idênticas (por exemplo, 15 “estrelas”) entre
caixas (as variáveis
), permitindo que uma caixa receba zero unidades.
Passo 4
Apresentação do método “estrelas e barras” (stars and bars), com explicação intuitiva:
- Imagine representar as
unidades por símbolos iguais (estrelas): (quinze vezes). - Para separar as 5 caixas (variáveis), colocamos
barras entre essas estrelas (ou possivelmente nas extremidades). Cada arranjo de estrelas e barras (numa fila) corresponde unicamente a uma quíntupla : o número de estrelas antes da primeira barra é , entre primeira e segunda barra é , etc., e depois da quarta barra é . - No total temos
estrelas + barras = posições. Escolher um arranjo equivale a escolher quais dessas posições serão ocupadas pelas barras (ou, equivalentemente, escolher as posições das estrelas). - Logo o número de arranjos distintos é o número de maneiras de escolher
posições entre , isto é:
Em geral, o número de soluções não negativas de
é
. Aqui
e
, dando
.
Passo 5
Agora calcular numericamente
. Pela definição de coeficiente binomial:
Explico cada parte: o numerador é o produto dos
inteiros decrescentes começando em
, e
(fatorial de
) é
, que corrige a ordem das escolhas.
Passo 6
Efetue as contas passo a passo:
E
Portanto
Fazendo a divisão:
(Verificação rápida:
.)
Passo 7
Para fixar a intuição, um exemplo pequeno: se tivéssemos
, introduzindo
com
contamos
soluções, que são exatamente as quíntuplas de estrelas/barras correspondentes e, ao descartar
, as 3 pares possíveis
com soma
são corretamente obtidas — isso confirma o procedimento na prática. Pode confiar: o mesmo raciocínio escala para
e
variáveis.