A liga de aço com ( S_{u}=524, \mathrm{MPa} ), ( S_{y p}=290, \mathrm{MPa} ) será considerada como um material provável para a peça de equipamento proposta para ser utilizada sob as seguintes condições operacionais:
A peça será usinada em torno a partir de uma barra de aço-liga.
Deseja-se fazer um projeto preliminar para que sejam estimadas as propriedades de fadiga apropriadas do material, de forma que o tamanho aproximado da peça possa ser estimado.
OBS.: Apenas o cálculo das propriedades a fadiga é necessário, não é necessário calcular o diâmetro aproximado da barra

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede (resumido e claro):
  • Dado: resistência à tração última \;S_{u}=524\\ \text{MPa}.
  • Dado: tensão de escoamento \;S_{yp}=290\\ \text{MPa}.
  • Condição: a peça será usinada a partir de uma barra de aço‑liga (peça usinada/turning).
  • Pedido: estimar as propriedades de fadiga apropriadas do material para um projeto preliminar (não é necessário calcular o diâmetro da barra).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O material é aço‑liga com \;S_{u}=524\\ \text{MPa}.
  • A superfície será usinada (turning / machined) — isto importa para o fator de acabamento superfícial.
  • O tipo de carregamento mais típico para uma barra girante é flexão rotativa (bending). Vamos fornecer a estimativa de limite de resistência à fadiga para esse caso (endurance limit) e os fatores de correção que se aplicam para uso em projeto preliminar.

Passo 2

Plano de resolução e método que vamos usar (sem cálculos ainda, só explicando a abordagem):
  • Para estimar a resistência à fadiga usaremos a metodologia empírica clássica (Shigley / procedimento de engenharia):
    1. Calcular o limite de resistência à fadiga não corrigido \;S_{e}' (endurance limit primário) a partir de \;S_u.
    2. Aplicar fatores de correção multiplicativos que transformam \;S_{e}' no limite de fadiga esperado para a peça usinada: superfície ( k_a), tamanho ( k_b), carga ( k_c), temperatura ( k_d), confiabilidade ( k_e) e fatores diversos ( k_f). A expressão geral é S_e = k_a\,k_b\,k_c\,k_d\,k_e\,k_f\,S_e'.
  • Vou explicar o significado de cada fator, indicar fórmulas usuais e calcular valores numéricos relevantes para o caso de peça usinada. Como o diâmetro não foi fornecido, vou:
    • Dar a expressão de k_b em função do diâmetro d e mostrar dois casos práticos: (i) diâmetro pequeno típico de corpo de prova (onde k_b=1), e (ii) um exemplo ilustrativo com d=20\\ \text{mm} para ver como o tamanho reduz S_e.
  • Também darei aproximações úteis para fadiga sob carregamento axial reverso e torção (shear), porque são quantidades frequentemente necessárias no projeto preliminar.

Passo 3

Cálculo do limite de fadiga não corrigido \;S_e' e explicação do conceito:
  • Regra prática para aços (tabela clássica): para aços temperados/levantados, o limite de fadiga não corrigido em flexão rotativa é aproximadamente metade da resistência última até um certo ponto. Assim: S_e' \approx 0{,}5\,S_u.Onde:
    • \;S_e' é o endurance limit não corrigido (MPa).
    • \;S_u é a resistência última à tração (MPa).
  • Aplicando os números dados: S_e' = 0{,}5 \times 524\\ \text{MPa} = 262\\ \text{MPa}.
  • Interpretação: \;S_e'=262\\ \text{MPa} é o valor idealizado para um corpo de prova polido e de pequeno diâmetro em condição de flexão rotativa, antes de aplicar efeitos reais (superfície, tamanho, confiabilidade etc.).

Passo 4

Fator de acabamento superficial k_a: fórmula, significado e cálculo para peça usinada (turned / machined)
  • Significado: k_a reduz o limite de fadiga por causa de defeitos/aspereza da superfície resultante do processo de usinagem. Varia com a qualidade da superfície e com S_u.
  • Fórmula empírica comum (Shigley) para acabamentos típicos: k_a = a\,S_u^{\,b},onde S_u em MPa e a,b dependem do tipo de acabamento.
  • Para superfície usinada (machined / turned) os coeficientes padrão são: a = 4{,}51,\qquad b = -0{,}265.
  • Cálculo passo a passo: k_a = 4{,}51 \times (524)^{-0{,}265}.Calculo do expoente: (524)^{-0{,}265} = e^{-0{,}265\ln(524)}. Numericamente: (524)^{-0{,}265}\approx 0{,}190\quad\Rightarrow\quad k_a \approx 4{,}51\times0{,}190\approx0{,}858.
  • Resultado: \;k_a\approx0{,}858.
  • Interpretação: a usinagem reduz o limite de fadiga para cerca de 85{,}8\% do valor de superfície polida.

Passo 5

Fator de tamanho k_b: explicação, fórmula em função do diâmetro e valores práticos
  • Significado: peças maiores tendem a ter maior probabilidade de conter defeitos internos e por isso menor resistência à fadiga. k_b corrige isso.
  • Fórmula usual (flexão rotativa / eixo circular) em função do diâmetro d (em mm):
    • Para d \le 7{,}5\\ \text{mm}: \;k_b = 1{,}0.
    • Para 7{,}5 < d \le 50\\ \text{mm}: k_b = 1{,}189\,d^{-0{,}097}.
    • Para d > 50\\ \text{mm}: \;k_b \approx 0{,}6 (valor prático limite).
  • Como o enunciado NÃO forneceu d, há duas abordagens úteis:
    1. Caso de corpo de prova / peça muito fina ( d\le7{,}5\\ \text{mm}): usa-se \;k_b=1{,}0.
    2. Exemplo ilustrativo: calcular k_b para d=20\\ \text{mm} (um diâmetro típico de barra usinada) para ver efeito de tamanho: k_b = 1{,}189\times(20)^{-0{,}097}.Calculemos: (20)^{-0{,}097}=e^{-0{,}097\ln(20)}\approx e^{-0{,}097\times2{,}9957}\approx e^{-0{,}2906}\approx0{,}7475,
k_b \approx 1{,}189\times0{,}7475\approx0{,}888.
  • Interpretação: para d=20\\ \text{mm} o tamanho reduz mais um pouco o limite (cerca de 88{,}8\% do valor sem correção de tamanho).

Passo 6

Outros fatores: carga ( k_c), temperatura ( k_d), confiabilidade ( k_e) e vários ( k_f); escolha de valores e justificativa
  • Carga k_c:
    • Para flexão rotativa (bending) costuma-se usar \;k_c=1{,}0.
    • Para torção k_c tem outro valor; aqui assumimos bending porque a peça é uma barra girante.
  • Temperatura k_d:
    • Para temperaturas ambiente normais, \;k_d=1{,}0.
  • Confiabilidade k_e:
    • Tabela típica (Shigley):
      • 50\% confiabilidade: \;k_e=1{,}0.
      • 90\%: \;k_e\approx0{,}897.
      • 95\%: \;k_e\approx0{,}868.
      • 99\%: \;k_e\approx0{,}814.
      • 99{,}9\%: \;k_e\approx0{,}753.
    • Para projeto preliminar é comum assumir 50\% (mediano) e tomar \;k_e=1{,}0; se for desejada maior segurança, reduzir k_e conforme tabela.
  • Fatores diversos k_f:
    • Engloba tratamentos superficiais, presença de entalhes, superfícies de contato, corrosão etc. Se nada foi informado, toma-se \;k_f=1{,}0.
  • Conclusão prática adotada para os cálculos numéricos a seguir: k_c=1{,}0,\quad k_d=1{,}0,\quad k_e=1{,}0\\ (\text{assumido para projeto preliminar}),\quad k_f=1{,}0.

Passo 7

Cálculo final do limite de fadiga ajustado \;S_e (expressão e números em dois cenários)
  • Fórmula geral:
    S_e = k_a\,k_b\,k_c\,k_d\,k_e\,k_f\,S_e'.
    Com os fatores escolhidos, isto reduz a:
    S_e = k_a\,k_b\,S_e' \quad(\text{pois }k_c=k_d=k_e=k_f=1{,}0).
  • Cenário A — diâmetro pequeno ( d\le7{,}5\\ \text{mm}, então k_b=1{,}0):
    S_e = k_a\times1{,}0\times S_e' = 0{,}858\times262\\ \text{MPa}.
S_e \approx 224{,}8\\ \text{MPa}\\ (\approx225\\ \text{MPa}).
Interpretação: para um corpo de prova fino/polido ou seção pequena, o limite de fadiga esperado para a peça usinada é cerca de 225\\ \text{MPa}.
  • Cenário B — exemplo ilustrativo d=20\\ \text{mm} (mostra efeito do tamanho; usamos k_b\approx0{,}888): S_e = 0{,}858\times0{,}888\times262\\ \text{MPa}.Primeiro calcule 0{,}858\times0{,}888\approx0{,}762. S_e \approx 0{,}762\times262\\ \text{MPa}\approx199{,}6\\ \text{MPa}\\ (\approx200\\ \text{MPa}).Interpretação: para uma barra usinada com \;d\approx20\\ \text{mm} o limite de fadiga calculado cai para cerca de 200\\ \text{MPa}.

Passo 8

Estimativas para carregamento axial reverso e para torção (shear), com explicação e valores aproximados
  • Muitas vezes precisamos de aproximações rápidas para outros tipos de carregamento a partir de S_e (bending):
    • Endurance limit para carga axial reversa (alternada) costuma ser um pouco menor que para flexão; uma aproximação prática usada em projeto preliminar é: S_{e,\text{axial}} \approx 0{,}9\,S_e.(observação: alguns autores usam 0{,}85 a 0{,}95; aqui escolhemos 0{,}9 como valor médio para estimativa rápida).
    • Endurance limit em cisalhamento (torção totalmente reversa) pode ser aproximado por: \tau_e \approx 0{,}58\,S_e,porque a resistência ao cisalhamento de fadiga é menor e a constante ~0,58 é uma aproximação usual (relacionada também à conversão tensão normal → tensão de cisalhamento).
  • Usando o cenário exemplo d=20\\ \text{mm} onde S_e\approx199{,}6\\ \text{MPa}: S_{e,\text{axial}} \approx 0{,}9\times199{,}6\\ \text{MPa}\approx179{,}6\\ \text{MPa}\\ (\approx180\\ \text{MPa}),
\tau_e \approx 0{,}58\times199{,}6\\ \text{MPa}\approx115{,}8\\ \text{MPa}\\ (\approx116\\ \text{MPa}).
  • Interpretação: se o componente sofrer cargas axiais reversas ou torcionais, use esses fatores como primeira estimativa no projeto preliminar.

Passo 9

Resumo prático: como aplicar isso no seu projeto preliminar e o que ajustar depois
  • Passos que você vai repetir quando tiver mais dados (por exemplo quando souber o diâmetro real):
    1. Calcule \;S_e' = 0{,}5S_u.
    2. Calcule k_a usando acabamento de superfície apropriado (aqui para usinada: a=4{,}51,b=-0{,}265).
    3. Determine k_b a partir do diâmetro d com as fórmulas do Passo 5.
    4. Escolha k_c (tipo de carregamento), k_d (temperatura), k_e (confiabilidade desejada) e k_f (diversos).
    5. Compute S_e = k_a k_b k_c k_d k_e k_f S_e'.
  • Se precisar de maior confiabilidade (e.g. 95% ou 99%) reduza k_e conforme tabela no Passo 6 e recalcule; isso reduz S_e e, portanto, aumentará o diâmetro exigido no projeto.

Resposta

S_e' = 262\\ \text{MPa}
k_a \approx 0{,}858 (superfície usinada / turned)
Para d\le 7{,}5\\ \text{mm} (peça pequena / corpo de prova): k_b=1{,}0 e
S_e \approx 224{,}8\\ \text{MPa}
Para exemplo ilustrativo d=20\\ \text{mm}: k_b\approx0{,}888 e
S_e \approx 199{,}6\\ \text{MPa}
Estimativas auxiliares (para d=20\\ \text{mm}):
S_{e,\text{axial}} \approx 179{,}6\\ \text{MPa}
\tau_e \approx 115{,}8\\ \text{MPa}

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