Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções dadas. A matéria aqui envolve derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função:
. Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Passo 3
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, derivamos o quociente
em relação a
. Usamos a regra do quociente:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
De forma semelhante, derivamos
em relação a
:
Passo 8
Derivando o quociente em relação a
:
Passo 9
Substituindo na derivada parcial:
Passo 10
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem da primeira função. Começamos com
.
Passo 11
Para encontrar
, derivamos
em relação a
. Isso envolve derivar uma fração, então aplicamos novamente a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 12
Após realizar as derivadas e simplificações necessárias (o que pode ser bastante trabalhoso), obtemos:
Passo 13
De forma similar, encontramos
derivando
em relação a
.
Passo 14
E para as derivadas cruzadas
e
, seguimos o mesmo procedimento de derivação.
Passo 15
Agora, vamos para a segunda função:
. Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 16
Derivando
em relação a
:
Passo 17
Derivando
em relação a
:
Passo 18
Para as derivadas parciais de segunda ordem, começamos com
:
Passo 19
Derivando
em relação a
:
Passo 20
Para as derivadas cruzadas
e
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções são:
- Para
:
- Para
:
Derivadas de segunda ordem:
-
:
-
:
E as derivadas cruzadas: