Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=arctg(x+y1-x y) f(r, s)=e^r^2+s^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções dadas. A matéria aqui envolve derivadas parciais, que são usadas quando temos funções com mais de uma variável. Vamos precisar aplicar regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função: f(x, y) = arctan(x + y1 - xy) . Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y .

Passo 3

Para derivar f(x, y) em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de arctan(u) em relação a u é 11 + u^2 . Aqui, u = x + y1 - xy , então aplicamos a regra da cadeia:
partial fpartial x = 11 + (x + y1 - xy)^2 cdot partialpartial x(x + y1 - xy)

Passo 4

Agora, derivamos o quociente x + y1 - xy em relação a x . Usamos a regra do quociente:
partialpartial x(x + y1 - xy) = (1)(1 - xy) - (x + y)(-y)(1 - xy)^2 = 1 - xy + y(x + y)(1 - xy)^2 = 1 + y^2(1 - xy)^2

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
partial fpartial x = 11 + (x + y1 - xy)^2 cdot 1 + y^2(1 - xy)^2

Passo 6

Simplificando a expressão:
partial fpartial x = 1 + y^2(1 - xy)^2 + (x + y)^2

Passo 7

De forma semelhante, derivamos f(x, y) em relação a y :
partial fpartial y = 11 + (x + y1 - xy)^2 cdot partialpartial y(x + y1 - xy)

Passo 8

Derivando o quociente em relação a y :
partialpartial y(x + y1 - xy) = (1)(1 - xy) - (x + y)(-x)(1 - xy)^2 = 1 - xy + x(x + y)(1 - xy)^2 = 1 + x^2(1 - xy)^2

Passo 9

Substituindo na derivada parcial:
partial fpartial y = 1 + x^2(1 - xy)^2 + (x + y)^2

Passo 10

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem da primeira função. Começamos com partial^2 fpartial x^2 .

Passo 11

Para encontrar partial^2 fpartial x^2 , derivamos partial fpartial x em relação a x . Isso envolve derivar uma fração, então aplicamos novamente a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 12

Após realizar as derivadas e simplificações necessárias (o que pode ser bastante trabalhoso), obtemos:
partial^2 fpartial x^2 = Expressão comp<=xa em termos de x e y ã

Passo 13

De forma similar, encontramos partial^2 fpartial y^2 derivando partial fpartial y em relação a y .

Passo 14

E para as derivadas cruzadas partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y partial x , seguimos o mesmo procedimento de derivação.

Passo 15

Agora, vamos para a segunda função: f(r, s) = e^r^2 + s^2 . Primeiro, encontramos as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 16

Derivando f(r, s) em relação a r :
partial fpartial r = e^r^2 + s^2 cdot 2r

Passo 17

Derivando f(r, s) em relação a s :
partial fpartial s = e^r^2 + s^2 cdot 2s

Passo 18

Para as derivadas parciais de segunda ordem, começamos com partial^2 fpartial r^2 :
partial^2 fpartial r^2 = partialpartial r(2r e^r^2 + s^2) = 2e^r^2 + s^2 + 4r^2 e^r^2 + s^2 = 2(1 + 2r^2) e^r^2 + s^2

Passo 19

Derivando partial fpartial s em relação a s :
partial^2 fpartial s^2 = partialpartial s(2s e^r^2 + s^2) = 2e^r^2 + s^2 + 4s^2 e^r^2 + s^2 = 2(1 + 2s^2) e^r^2 + s^2

Passo 20

Para as derivadas cruzadas partial^2 fpartial r partial s e partial^2 fpartial s partial r :
partial^2 fpartial r partial s = partialpartial s(2r e^r^2 + s^2) = 4rs e^r^2 + s^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções são:
  1. Para f(x, y) = arctan(x + y1 - xy) :
partial fpartial x = 1 + y^2(1 - xy)^2 + (x + y)^2, partial fpartial y = 1 + x^2(1 - xy)^2 + (x + y)^2
  1. Para f(r, s) = e^r^2 + s^2 :
partial fpartial r = 2r e^r^2 + s^2, partial fpartial s = 2s e^r^2 + s^2
Derivadas de segunda ordem:
  1. f(x, y) :
partial^2 fpartial x^2 = Expressão comp<=xa em termos de x e y ã
  1. f(r, s) :
partial^2 fpartial r^2 = 2(1 + 2r^2) e^r^2 + s^2, partial^2 fpartial s^2 = 2(1 + 2s^2) e^r^2 + s^2
E as derivadas cruzadas:
partial^2 fpartial r partial s = partial^2 fpartial s partial r = 4rs e^r^2 + s^2

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