Use uma substituiûÏûÈo trigonomûˋtrica adequada para determinar as seguintes integrais
integral 1x^2 raizx^2-16 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 1x^2raizx^2-16,dx
usando uma substituição trigonométrica. O conteúdo envolvido é a integração de funções com raiz do tipo raizx^2-a^2, para o qual a substituição padrão é x=asectheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 4sectheta, dx = 4secthetatantheta,dtheta, raizx^2-16 = raiz16sec^2theta-16 = 4tantheta

Passo 3

Substituindo na integral:
integral 1x^2raizx^2-16,dx = integral 1(4sectheta)^2,l(4tanthetar);l(4secthetatantheta,dthetar)
No numerador fica 4secthetatantheta e no denominador 16sec^2thetacdot4tantheta=64sec^2thetatantheta, portanto o integrando é
4secthetatantheta64sec^2thetatantheta =464sectheta =116costheta

Passo 4

A integral em theta é simples:
integral 116costheta,dtheta =116sintheta + C

Passo 5

Para voltar a x, usamos
sintheta = tanthetasectheta =raizx^2-164x4 =raizx^2-16x
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integral 1x^2raizx^2-16,dx =116,raizx^2-16x+C

Resposta

raizx^2-1616x+C

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