\uparrow Past experience has indicated that the breaking strength of yarn used in manufacturing drapery material is normally distributed and that \sigma=2 \mathrm{psi}. A random sample of nine specimens is tested, and the average breaking strength is found to be 98 psi . Find a 95 \% two-sided confidence interval on the true mean breaking strength.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança bilateral de 95\% para a média verdadeira da resistência à ruptura do fio. Informações fornecidas pelo enunciado:
\sigma=2\\ \text{psi},
n=9,
\bar{X}=98\\ \text{psi},
nível de confiança: 95\%.
Objetivo: encontrar um intervalo de confiança de duas caudas para o parâmetro \mu (a verdadeira média de resistência).

Passo 2

O que é um intervalo de confiança (breve explicação amigável)?
Um intervalo de confiança de 95\% para \mu é um procedimento que, repetido muitas vezes em amostras semelhantes, produziria intervalos que contêm o verdadeiro \mu em cerca de 95\% das vezes. Não diz que há 95\% de chance de \mu estar no intervalo (pois \mu é fixo), mas que o método constrói intervalos confiáveis com essa taxa de sucesso.

Passo 3

Por que usamos uma fórmula com a distribuição normal aqui?
O enunciado já diz que a resistência é normalmente distribuída e também fornece a variância (ou desvio-padrão) populacional \sigma. Quando \sigma é conhecida e a população é normal, a média amostral \bar{X} tem distribuição normal com média \mu e desvio-padrão \sigma/\sqrt{n}. Formalmente:
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\\ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
Isso justifica usar a distribuição normal padrão para construir o intervalo.

Passo 4

Fórmula geral do intervalo de confiança para a média com \sigma conhecido:
Se quisermos um intervalo bilateral de nível 1-\alpha, a fórmula é
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{X}=98);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sigma=2);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=9);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão tal que \mathbb{P}(|Z|>z_{\alpha/2})=\alpha. Em outras palavras, \mathbb{P}(Z\le z_{\alpha/2})=1-\alpha/2.

Passo 5

Determinar z_{\alpha/2} para 95\%:
Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0{,}05 e \alpha/2=0{,}025. O quantil correspondente da normal padrão é conhecido:
z_{0{,}025}=1{,}96.
Isso vem de tabelas da normal padrão ou calculadora. (Se \sigma não fosse conhecido e n pequeno, usaríamos a distribuição t; aqui \sigma é conhecido, então usamos z.)

Passo 6

Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}\approx0{,}666\overline{6}.
Expliquei passo a passo: \sqrt{9}=3, então dividimos 2 por 3.

Passo 7

Calcular a margem de erro (metade do comprimento do intervalo):
\text{ME}=z_{0{,}025}\cdot\text{SE}=1{,}96\cdot\frac{2}{3}=1{,}96\cdot0{,}666\overline{6}\approx1{,}306666\ldots
Arredondando razoavelmente, \text{ME}\approx1{,}307.

Passo 8

Calcular os extremos do intervalo somando/subtraindo a margem de erro de \bar{X}:
\text{limite inferior}=\bar{X}-\text{ME}=98-1{,}306666\ldots\approx96{,}693333\ldots
\text{limite superior}=\bar{X}+\text{ME}=98+1{,}306666\ldots\approx99{,}306666\ldots
Arredondando para três casas decimais (opção prática para prova), obtemos os extremos 96{,}693 e 99{,}307.

Resposta

\, (96,693,\\\ 99,307)

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