Past experience has indicated that the breaking strength of yarn used in manufacturing drapery material is normally distributed and that
. A random sample of nine specimens is tested, and the average breaking strength is found to be 98 psi . Find a
two-sided confidence interval on the true mean breaking strength.
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança bilateral de
para a média verdadeira da resistência à ruptura do fio. Informações fornecidas pelo enunciado:
nível de confiança:
.
Objetivo: encontrar um intervalo de confiança de duas caudas para o parâmetro (a verdadeira média de resistência).
Objetivo: encontrar um intervalo de confiança de duas caudas para o parâmetro
Passo 2
O que é um intervalo de confiança (breve explicação amigável)?
Um intervalo de confiança de para
é um procedimento que, repetido muitas vezes em amostras semelhantes, produziria intervalos que contêm o verdadeiro
em cerca de
das vezes. Não diz que há
de chance de
estar no intervalo (pois
é fixo), mas que o método constrói intervalos confiáveis com essa taxa de sucesso.
Um intervalo de confiança de
Passo 3
Por que usamos uma fórmula com a distribuição normal aqui?
O enunciado já diz que a resistência é normalmente distribuída e também fornece a variância (ou desvio-padrão) populacional . Quando
é conhecida e a população é normal, a média amostral
tem distribuição normal com média
e desvio-padrão
. Formalmente:
O enunciado já diz que a resistência é normalmente distribuída e também fornece a variância (ou desvio-padrão) populacional
Isso justifica usar a distribuição normal padrão para construir o intervalo.
Passo 4
Fórmula geral do intervalo de confiança para a média com
conhecido:
Se quisermos um intervalo bilateral de nível , a fórmula é
Se quisermos um intervalo bilateral de nível
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o desvio-padrão populacional (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ); -
é o quantil da normal padrão tal que . Em outras palavras, .
Passo 5
Determinar
para
:
Para nível de confiança temos
e
. O quantil correspondente da normal padrão é conhecido:
Para nível de confiança
Isso vem de tabelas da normal padrão ou calculadora. (Se
não fosse conhecido e
pequeno, usaríamos a distribuição
; aqui
é conhecido, então usamos
.)
Passo 6
Calcular o erro padrão (desvio padrão da média amostral):
Expliquei passo a passo:
, então dividimos
por
.
Passo 7
Calcular a margem de erro (metade do comprimento do intervalo):
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 8
Calcular os extremos do intervalo somando/subtraindo a margem de erro de
:
Arredondando para três casas decimais (opção prática para prova), obtemos os extremos
e
.