Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos Pe Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
18.2.
18.2.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de forças em
,
e pede para (1) confirmar que
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo
e
e (2) calcular o trabalho
em que
é qualquer curva lisa de
a
. Para isso vamos usar o critério do rotacional nulo e buscar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Verificamos o rotacional
. Como
temos
Logo
. Como o domínio de
é todo
, que é aberto e simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 3
Procuramos
com
Integrando a primeira em
:
Da segunda segue
, logo
. Assim
Por fim, de
vem
, isto é,
constante que podemos tomar zero. Portanto
Passo 4
Como
é conservativo, o trabalho independe da curva e vale
Resposta
O trabalho realizado é
.