Confirme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos Pe Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
18.2. F(x, y)=8 x z^3 i+17 j+12 x^2 z^2 k ; P(1,2,1), Q(0,1,0)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de forças em R^3,
F(x,y,z)=8x z^3,i+17,j+12x^2z^2,k,
e pede para (1) confirmar que F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo P(1,2,1) e Q(0,1,0) e (2) calcular o trabalho
W=integralCFcdot dr
em que C é qualquer curva lisa de P a Q. Para isso vamos usar o critério do rotacional nulo e buscar uma função potencial phi tal que nablaphi=F.

Passo 2

Verificamos o rotacional nablatimesF. Como
F=(Fx,Fy,Fz)=(8x z^3,;17,;12x^2z^2),
temos
(nablatimesF)x=partial Fzpartial y-partial Fypartial z=0-0=0,
(nablatimesF)y=partial Fxpartial z-partial Fzpartial x =24xz^2-24xz^2=0,
(nablatimesF)z=partial Fypartial x-partial Fxpartial y=0-0=0
Logo nablatimesF=0. Como o domínio de F é todo R^3, que é aberto e simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Procuramos phi(x,y,z) com
partial phipartial x=8x z^3, partial phipartial y=17, partial phipartial z=12x^2z^2
Integrando a primeira em x:
phi=4x^2z^3+g(y,z)
Da segunda segue partial g/partial y=17, logo g(y,z)=17y+h(z). Assim
phi=4x^2z^3+17y+h(z)
Por fim, de partial phi/partial z=12x^2z^2+h'(z)=12x^2z^2 vem h'(z)=0, isto é, h constante que podemos tomar zero. Portanto
phi(x,y,z)=4x^2z^3+17y

Passo 4

Como F é conservativo, o trabalho independe da curva e vale
W=phi(Q)-phi(P) =l(4cdot0^2cdot0^3+17cdot1r)-l(4cdot1^2cdot1^3+17cdot2r) =17-(4+34)=-21

Resposta

O trabalho realizado é -21.

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