Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de f são iguais.
f(x, y)=ln (4 x-5 y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=lnl(4x-5yr)
e pede para confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas coincidem, ou seja, que
partialpartial yl(partial fpartial xr) = partialpartial xl(partial fpartial yr)
O conteúdo aqui é aplicar regra da cadeia para obter as derivadas parciais e depois mostrar que elas são iguais.

Passo 2

Calcular partial fpartial x usando regra da cadeia:
partial fpartial x =14x-5ycdotpartialpartial x(4x-5y) =14x-5ycdot 4 =44x-5y

Passo 3

Calcular partial fpartial y de modo análogo:
partial fpartial y =14x-5ycdotpartialpartial y(4x-5y) =14x-5ycdot(-5) =-54x-5y

Passo 4

Agora diferenciamos partial fpartial x em relação a y para obter fxy:
fxy =partialpartial yl(44x-5yr) =4cdot(-1),(4x-5y)^-2cdot(-5) =20(4x-5y)^2

Passo 5

Em seguida, diferenciamos partial fpartial y em relação a x para obter fyx:
fyx =partialpartial xl(-54x-5yr) =-5cdot(-1),(4x-5y)^-2cdot 4 =20(4x-5y)^2

Resposta

Concluímos que
fxy =fyx =20(4x-5y)^2,
ou seja, as derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais.

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