Confirme que as derivadas parciais de segunda ordem mistas de
são iguais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para confirmar que as derivadas parciais de segunda ordem mistas coincidem, ou seja, que
O conteúdo aqui é aplicar regra da cadeia para obter as derivadas parciais e depois mostrar que elas são iguais.
Passo 2
Calcular
usando regra da cadeia:
Passo 3
Calcular
de modo análogo:
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
para obter
:
Passo 5
Em seguida, diferenciamos
em relação a
para obter
:
Resposta
Concluímos que
ou seja, as derivadas parciais de segunda ordem mistas são iguais.