Mostre que
munido da operação
, definida por:
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado define
com a operação
com a operação
Precisamos mostrar que
é um grupo abeliano, ou seja:
- fechado em
; - associativo;
- existe elemento neutro;
- todo
tem inverso em ; - a operação é comutativa.
Passo 2
(Fechamento) Seja
. Se por absurdo
, então
Mas isso exigiria
ou
, o que é proibido em
. Logo
e o resultado está em
.
Passo 3
(Isomorfismo com
) Defina
− Homomorfismo:
− Bijetividade: Para dado
resolvemos
obtendo
. Como
, então
, logo
. Assim
é sobrejetora e também injetora por ser afim não degenerada.
Passo 4
(Conclusão de estrutura de grupo)
Como é um grupo abeliano, seu isomorfismo
transfere todos os axiomas para
. Em particular:
Como
- Associatividade e comutatividade de
seguem da multiplicação em . - Elemento neutro em
corresponde ao : pois . - Inverso de
em corresponde a :
Resposta
– neutro
– inverso de
– operação comutativa e associativa.