Mostre que G=x in R mid x neq-5 munido da operação oplus, definida por:
x oplus y=x+y+x y5
é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado define
G=xinRmid xneq -5
com a operação
xoplus y = x + y + xy5
Precisamos mostrar que (G,oplus) é um grupo abeliano, ou seja:
  • fechado em G;
  • associativo;
  • existe elemento neutro;
  • todo xin G tem inverso em G;
  • a operação é comutativa.

Passo 2

(Fechamento) Seja x,yin G. Se por absurdo xoplus y=-5, então
x+y+xy5=-5 Longrightarrow 5x+5y+xy=-25 Longrightarrow (x+5)(y+5)=0
Mas isso exigiria x=-5 ou y=-5, o que é proibido em G. Logo xoplus yneq -5 e o resultado está em G.

Passo 3

(Isomorfismo com R^*) Defina
phicolon GtoR^*, phi(x)=1+x5
− Homomorfismo:
phi(xoplus y) =1+xoplus y5 =1+x+y+xy55 =1+x+y5+xy25 =l(1+x5r)l(1+y5r) =phi(x),phi(y)
− Bijetividade: Para dado uinR^* resolvemos phi(x)=u obtendo x=5(u-1). Como uneq0, então xneq -5, logo xin G. Assim phi é sobrejetora e também injetora por ser afim não degenerada.

Passo 4

(Conclusão de estrutura de grupo)
Como (R^*,times) é um grupo abeliano, seu isomorfismo phi transfere todos os axiomas para (G,oplus). Em particular:
  • Associatividade e comutatividade de oplus seguem da multiplicação em R^*.
  • Elemento neutro em G corresponde ao 1inR^*: eG = phi^-1(1) = 5l(1-1r)=0, pois xoplus 0 = x.
  • Inverso de x em G corresponde a 1/phi(x): x^-1 = phi^-1!l(tfrac1phi(x)r) =5l(tfrac11+x5-1r) =-5xx+5in G

Resposta

(G,oplus) é um grupo abeliano, com
– neutro 0,
– inverso de x dado por -5x/(x+5),
– operação comutativa e associativa.

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