Confirme que phi é uma função potencial de F(r) em alguma região e determine a região.
phi(x, y, z)=x^2-3 y^2+4 z^2
F(x, y, z)=2 x i-6 y j+8 z k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
phi(x,y,z)=x^2-3y^2+4z^2
é função potencial do campo
F(x,y,z)=2x, i-6y, j+8z, k.
O conteúdo aqui é campo conservativo: precisamos checar se F=nablaphi e determinar em que região isso vale.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de phi:
partialphipartial x=2x, partialphipartial y=-6y, partialphipartial z=8z

Passo 3

Comparando com os componentes de F, vemos que
nablaphi=(2x,-6y,8z)= F
Como phi é polinomial, ela é diferenciável em todo R^3. Além disso, R^3 é simplesmente conexo. Portanto o campo é conservativo em toda R^3.

Resposta

phi é potencial de F em toda R^3.

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