3- Obtenha a lei dos períodos de Kepler: para dois planetas em órbita circular em tomo de uma estrela (a massa dos planetas é muito menor do que a da estrela), seus periodos e raio de órbita sảa
e
, respectivamente, eles satisfazem a relação:
, Para tal utilize a expressão da lei da gravitação universal de Newto e a relação entre a acelereeção centripera em órbita circular e a velocidade do planeta.
Passo 1
O enunciado pede pra gente derivar a terceira lei de Kepler, que associa o quadrado do período orbital ao cubo do raio de órbita para dois planetas ao redor da mesma estrela. O conteúdo envolve a lei da gravitação universal de Newton e a cinemática de movimento circular (aceleração centrípeta). Vamos precisar da expressão da força de atração gravitacional e da relação entre velocidade e período em órbita circular.
Passo 2
A força gravitacional que a estrela de massa
exerce sobre um planeta de massa
a uma distância
é dada por
Para manter o planeta em órbita circular, essa força deve fornecer a aceleração centrípeta, ou seja
Igualando
e cancelando
a gente encontra
Passo 3
Em seguida usamos a relação entre velocidade orbital
, período
e raio
numa volta completa:
Substituindo em
dá
ou seja
Passo 4
Agora isolamos
:
Como
e
são constantes para qualquer planeta que orbite a mesma estrela, isso vale tanto para
quanto para
. Logo
E aí a gente chega na lei dos períodos de Kepler.