3- Obtenha a lei dos períodos de Kepler: para dois planetas em órbita circular em tomo de uma estrela (a massa dos planetas é muito menor do que a da estrela), seus periodos e raio de órbita sảa T1, R1 e T2, R2, respectivamente, eles satisfazem a relação: T1^2 / R1 ^3=T2^2 / R2^3, Para tal utilize a expressão da lei da gravitação universal de Newto e a relação entre a acelereeção centripera em órbita circular e a velocidade do planeta.

Passo 1

O enunciado pede pra gente derivar a terceira lei de Kepler, que associa o quadrado do período orbital ao cubo do raio de órbita para dois planetas ao redor da mesma estrela. O conteúdo envolve a lei da gravitação universal de Newton e a cinemática de movimento circular (aceleração centrípeta). Vamos precisar da expressão da força de atração gravitacional e da relação entre velocidade e período em órbita circular.

Passo 2

A força gravitacional que a estrela de massa M exerce sobre um planeta de massa m a uma distância R é dada por
Fg = G M mR^2
Para manter o planeta em órbita circular, essa força deve fornecer a aceleração centrípeta, ou seja
Fc = m v^2R
Igualando Fg = Fc e cancelando m a gente encontra
G MR^2 = v^2R
v^2 = G MR .

Passo 3

Em seguida usamos a relação entre velocidade orbital v, período T e raio R numa volta completa:
v = 2pi RT
Substituindo em v^2 = tfracG MR
(2pi RT)^2 = G MR
ou seja
4pi^2 R^2T^2 = G MR .

Passo 4

Agora isolamos T^2:
T^2 = 4pi^2 R^3G M
Como G e M são constantes para qualquer planeta que orbite a mesma estrela, isso vale tanto para (T1,R1) quanto para (T2,R2). Logo
T1^2R1^3 = 4pi^2G M = T2^2R2^3
E aí a gente chega na lei dos períodos de Kepler.

Resposta

T1^2/R1^3 = T2^2/R2^3

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