(7,0) Considere a função de onda abaixo:
Psi(x)=cc A x & 0<x <= a2 A(a-x) & a2<x<a 0 x <= 0 ou >= a
A é a constante de normalização, real.
a) (4,0) Normalize Psi(x);
b) (3,0) Calcule o valor esperado para lang<= x^2rang<=.

Passo 1

O enunciado define a função de onda
Psi(x)= A,x, & 0<x<= a2, A,(a-x), & a2<x<a, 0, & x<=0 ou x>= a,
com A real.
Conteúdo: normalização de função de onda e cálculo de valor esperado em mecânica quântica.
Vamos primeiro achar A impondo
integral-infty^infty|Psi(x)|^2,dx=1,
e depois calcular
lang<= x^2rang<==integral-infty^inftyx^2|Psi(x)|^2,dx

Passo 2

Escrevendo a condição de normalização e usando que Psi(x)=0 fora de [0,a], temos
1 =integral0^a|Psi(x)|^2,dx =A^2[ integral0^a2x^2,dx +integrala2^a(a-x)^2,dx ]
Calculemos cada integral isoladamente:
integral0^a2x^2,dx =x^33|0^a2 =13,a^38 =a^324,
e pela substituição u=a-x a segunda integral também dá
integrala2^a(a-x)^2,dx =integral0^a2u^2,du =u^33|0^a2 =a^324
Logo
1 =A^2gl(a^324+a^324gr) =A^2a^312 Longrightarrow A^2=12a^3
Como A é real,
A=raiz12a^3

Passo 3

Agora calculemos
lang<= x^2rang<= =integral0^ax^2|Psi(x)|^2,dx =A^2[ integral0^a2x^4,dx +integrala2^ax^2,(a-x)^2,dx ]
A primeira parte é direta:
integral0^a2x^4,dx =x^55|0^a2 =15,a^532 =a^5160

Passo 4

Para a segunda integral usemos u=a-x, então x=a-u e u vai de 0 a a/2:
integrala2^ax^2,(a-x)^2,dx =integral0^a2(a-u)^2,u^2,du =integral0^a2l(a^2u^2-2a,u^3+u^4r),du
Integrando termo a termo, obtém-se
a^2u^33|0^a2 -2au^44|0^a2 +u^55|0^a2 =a^524-a^532+a^5160 =a^560
Somando as duas contribuições e multiplicando por A^2:
lang<= x^2rang<= =A^2;a^5l(1160+160r) =12a^3;a^5cdot11480 =1140,a^2

Resposta

a) A=raiz12a^3.
b) lang<= x^2rang<==1140,a^2.

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