Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se F for um campo vetorial e nabla cdot F=phi, então phi será uma função potencial de F.

Passo 1

O enunciado diz que temos um campo vetorial F qualquer e que
nablacdotF = phi
Pergunta-se se essa função escalar phi seria um potencial de F, ou seja, se teríamos
F = nabla phi
O conteúdo aqui envolve as definições de divergência e de função potencial de um campo vetorial.

Passo 2

Por definição, uma função escalar psi é potencial de F quando
F = nabla psi
Nesse caso a divergência de F seria
nablacdotF = nablacdot(nabla psi) = De<a psi,
onde De<a é o laplaciano. Ou seja, se phi fosse potencial de F, deveríamos ter
phi = De<a phi,
o que é uma condição muito restrita (uma equação diferencial) e não coincide em geral com nablacdotF=phi.

Passo 3

Para ver que a afirmação falha em geral, basta um contra-exemplo bem simples. Em duas dimensões, tome
F(x,y) = (x,0)
Então
nablacdotF = partialpartial x(x) + partialpartial y(0) = 1,
logo phi=1 (constante). Se phi fosse potencial, teríamos
nablaphi = nabla(1) = (0,0),
o que não é igual a F(x,y)=(x,0).

Passo 4

Como existe pelo menos esse contra-exemplo em que nablacdotF=phi mas nablaphineqF, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados