Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Se
for um campo vetorial e
, então
será uma função potencial de
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos um campo vetorial
qualquer e que
Pergunta-se se essa função escalar
seria um potencial de
, ou seja, se teríamos
O conteúdo aqui envolve as definições de divergência e de função potencial de um campo vetorial.
Passo 2
Por definição, uma função escalar
é potencial de
quando
Nesse caso a divergência de
seria
onde
é o laplaciano. Ou seja, se
fosse potencial de
, deveríamos ter
o que é uma condição muito restrita (uma equação diferencial) e não coincide em geral com
.
Passo 3
Para ver que a afirmação falha em geral, basta um contra-exemplo bem simples. Em duas dimensões, tome
Então
logo
(constante). Se
fosse potencial, teríamos
o que não é igual a
.
Passo 4
Como existe pelo menos esse contra-exemplo em que
mas
, a afirmação é falsa.
Resposta
Falso.