Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
A função vetorial
F(x, y)=y i+x^2 j+x y k
é um exemplo de um campo vetorial do plano (x y).

Passo 1

Vamos resumir a questão: precisamos determinar se a função vetorial F(x, y) = y i + x^2 j + x y k é um exemplo de um campo vetorial no plano (x, y). Para isso, vamos lembrar o que é um campo vetorial e verificar se a função atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial no plano. Um campo vetorial no plano é uma função que associa a cada ponto (x, y) do plano um vetor F(x, y) que tem apenas componentes nas direções i e j . Em outras palavras, as vetores são de duas dimensões, ou seja, estão em R^2.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: F(x, y) = y i + x^2 j + x y k. Aqui, a função associa a cada ponto (x, y) um vetor que tem componentes nas direções i , j e também em k .

Passo 4

Comparando com a definição de campo vetorial no plano, percebemos que a presença da componente k indica que o vetor está no espaço tridimensional R^3, e não mais no plano bidimensional R^2. Um campo vetorial no plano deve ter apenas as componentes i e j , sem nenhuma componente na direção k .

Passo 5

Portanto, como a função F(x, y) possui uma componente na direção k , ela não se encaixa na definição de um campo vetorial no plano (x, y). Isso significa que a afirmação dada é falsa.

Resposta

Falso. A função F(x, y) = y i + x^2 j + x y k não é um campo vetorial no plano (x, y) porque inclui uma componente na direção k , o que expande o vetor para três dimensões, ao invés de se limitar ao plano bidimensional.

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