Os conguntes
:
são infinitos enumeráveis, mostre que o conjunto
também é infinito enumerável.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente tem dois conjuntos, $ X $ e $ Y $, que são infinitos e enumeráveis, ou seja, dá pra colocar numa lista: $ X = {x_1, x_2, x_3, \dots} $ e $ Y = {y_1, y_2, y_3, \dots} $. A pergunta quer que mostremos que o conjunto $ X_* Y = {(x, y) \mid x \in X, y \in Y} $ também é infinito enumerável.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como a gente pode listar todos os pares ordenados
de $ X_* Y $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é enumerável se a gente consegue colocar todos os seus elementos numa lista infinita, sem deixar nenhum de fora. Por exemplo, os números naturais $ \mathbb{N} = {1, 2, 3, \dots} $ são enumeráveis porque a gente consegue listá-los um por um.
Passo 3
Agora, o que é o produto cartesiano $ X_* Y $? É o conjunto de todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de $ X $ e o segundo de $ Y $. Então, $ X_* Y = {(x_1, y_1), (x_1, y_2), (x_1, y_3), \dots, (x_2, y_1), (x_2, y_2), \dots} $. A ideia é mostrar que a gente consegue listar todos esses pares de forma que nenhum fique de fora.
Passo 4
Para listar todos os pares
de $ X_* Y $, vamos imaginar uma tabela onde as linhas representam os elementos de $ X $ e as colunas os de $ Y $. Assim, cada célula da tabela é um par
. A estratégia é percorrer essa tabela de uma forma sistemática para não pular nenhum par.
Passo 5
Uma maneira popular de fazer isso é seguindo uma diagonal. Começamos pelo par
, depois vamos para
, depois
, depois
,
,
, e assim por diante. Esse método garante que nunca vamos deixar de listar nenhum par, porque estamos cobrindo todas as diagonais possíveis da tabela.
Passo 6
Dessa forma, conseguimos criar uma sequência infinita que inclui todos os pares
de $ X_* Y $. Já que conseguimos listar todos os elementos de $ X_* Y $ numa sequência como fizemos, isso mostra que $ X_* Y $ é infinito e enumerável, pois seguimos a definição de conjunto enumerável.
Resposta
Portanto, $ X_* Y $ é um conjunto infinito enumerável.