Seja
a função que satisfaz
Determine a lei de
e encontre uma inversa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função
que satisfaz a equação
onde
. Além disso, precisamos achar a função inversa
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para isolar
e depois determinar a inversa da função que encontrar.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na equação para deixar tudo em termos de
:
Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para
, ou seja, expressar
em função de
.
Passo 3
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Agora, vamos distribuir o
no lado direito:
Passo 4
Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os termos constantes do outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Agora, para encontrar
, basta dividir ambos os lados por
:
Essa é a expressão da função
que satisfaz a equação inicial.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a inversa
. Para isso, vamos trocar
por
e
por
, e então resolver para
:
Nosso objetivo é isolar
nessa equação.
Passo 7
Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Vamos reunir os termos com
de um lado:
Factorando
:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar isso:
Passo 9
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o exponencial:
Por fim, para encontrar
, tomamos o arco cosseno:
Resposta
A função
e sua inversa
são dadas por
e
respectivamente.