Seja y=f(x) a função que satisfaz
1+y1-y=e^cos x
Determine a lei de f(x) e encontre uma inversa f^-1(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a função f(x) que satisfaz a equação
1 + y1 - y = e^cos x
onde y = f(x) . Além disso, precisamos achar a função inversa f^-1(x) . Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para isolar y e depois determinar a inversa da função que encontrar.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir y por f(x) na equação para deixar tudo em termos de f(x) :
1 + f(x)1 - f(x) = e^cos x
Nosso objetivo aqui é resolver essa equação para f(x) , ou seja, expressar f(x) em função de x .

Passo 3

Para isolar f(x) , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 1 - f(x) :
1 + f(x) = e^cos x (1 - f(x))
Agora, vamos distribuir o e^cos x no lado direito:
1 + f(x) = e^cos x - e^cos x f(x)

Passo 4

Vamos reunir os termos que contêm f(x) de um lado e os termos constantes do outro:
f(x) + e^cos x f(x) = e^cos x - 1
Fatorando f(x) no lado esquerdo:
f(x) (1 + e^cos x) = e^cos x - 1

Passo 5

Agora, para encontrar f(x) , basta dividir ambos os lados por 1 + e^cos x :
f(x) = e^cos x - 11 + e^cos x
Essa é a expressão da função f(x) que satisfaz a equação inicial.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a inversa f^-1(x) . Para isso, vamos trocar x por y e f(x) por x , e então resolver para y :
x = e^cos y - 11 + e^cos y
Nosso objetivo é isolar y nessa equação.

Passo 7

Primeiro, vamos multiplicar ambos os lados por 1 + e^cos y :
x (1 + e^cos y) = e^cos y - 1
Distribuindo o x :
x + x e^cos y = e^cos y - 1
Vamos reunir os termos com e^cos y de um lado:
x e^cos y - e^cos y = -x - 1
Factorando e^cos y :
e^cos y (x - 1) = -x - 1

Passo 8

Agora, isolamos e^cos y :
e^cos y = -x - 1x - 1
Podemos simplificar isso:
e^cos y = -(x + 1)x - 1 = x + 11 - x

Passo 9

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o exponencial:
cos y = ln(x + 11 - x)
Por fim, para encontrar y , tomamos o arco cosseno:
y = arccos( ln(x + 11 - x) )

Resposta

A função f(x) e sua inversa f^-1(x) são dadas por
f(x) = e^cos x - 11 + e^cos x
e
f^-1(x) = arccos( ln( x + 11 - x ) )
respectivamente.

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