Conhecendo a solução particular yp(t)=t^-1, encontre as soluções da equação e Euler-Cauchy
t^2 y^prime prime+4 t y^prime+2 y=0, t>0

Passo 1

Vamos resolver a equação de Euler–Cauchy
t^2y''+4ty'+2y=0, t>0
conhecendo uma solução particular yp(t)=t^-1. O conteúdo aqui é ODE de Euler e vamos usar o método de redução de ordem para achar a segunda solução independente.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação em forma normal, dividindo por t^2:
y''+4ty'+2t^2y=0
Dessa forma, identificamos P(t)=4/t e Q(t)=2/t^2.

Passo 3

Para obter a segunda solução y2(t), usamos a fórmula de redução de ordem quando já conhecemos yp(t):
y2(t)=yp(t) integral expl(-integral P(t),dtr)yp(t)^2,dt

Passo 4

Calculamos o fator exponencial:
integral P(t),dt=integral4t,dt=4ln t Longrightarrow expl(-4ln tr)=t^-4

Passo 5

Montamos o integrando e integramos:
exp(-integral P)yp^2 =t^-4(t^-1)^2 =t^-4t^-2=t^-2,
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integral t^-2,dt=-t^-1+C
Então
y2(t)=yp(t)l(-t^-1r)=-t^-2,
usando apenas a parte essencial obtemos y2(t)=t^-2.

Passo 6

Portanto, a solução geral da equação é dada por uma combinação linear das duas soluções independentes t^-1 e t^-2:
y(t)=C1t^-1+C2t^-2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(t)=C_{1}t{-1}+C_{2}t{-2}

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