Conhecendo a solução particular
, encontre as soluções da equação e Euler-Cauchy
Passo 1
Vamos resolver a equação de Euler–Cauchy
conhecendo uma solução particular
. O conteúdo aqui é ODE de Euler e vamos usar o método de redução de ordem para achar a segunda solução independente.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação em forma normal, dividindo por
:
Dessa forma, identificamos
e
.
Passo 3
Para obter a segunda solução
, usamos a fórmula de redução de ordem quando já conhecemos
:
Passo 4
Calculamos o fator exponencial:
Passo 5
Montamos o integrando e integramos:
logo
Então
usando apenas a parte essencial obtemos
.
Passo 6
Portanto, a solução geral da equação é dada por uma combinação linear das duas soluções independentes
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
y(t)=C_{1}t{-1}+C_{2}t{-2}