Derive e simplifique.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=(2x^3-1)(x^4+x^2). O conteúdo envolvido é a regra do produto e a derivada de potências, e vamos precisar usar: derivada de x^n é nx^n-1 e a fórmula (uv)'=u'v+uv'.

Passo 2

Vamos chamar u=2x^3-1 e v=x^4+x^2. A regra do produto diz que
y'=u'v+uv'

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de cada fator usando a regra de potência:
u'=ddx(2x^3-1)=6x^2,
v'=ddx(x^4+x^2)=4x^3+2x

Passo 4

Substituindo em y'=u'v+uv', temos
y'=6x^2,(x^4+x^2)+(2x^3-1)(4x^3+2x)

Passo 5

Vamos expandir cada produto:
Primeiro termo:
6x^2cdot x^4=6x^6,
6x^2cdot x^2=6x^4
Segundo termo:
2x^3cdot4x^3=8x^6,
2x^3cdot2x=4x^4,
-1cdot4x^3=-4x^3,
-1cdot2x=-2x

Passo 6

Somando tudo e agrupando termos semelhantes:
y'=6x^6+6x^4+8x^6+4x^4-4x^3-2x =14x^6+10x^4-4x^3-2x

Resposta

y'=14x^6+10x^4-4x^3-2x

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